ГДЗ: Упражнение 146 - § 8 (Равносильные уравнения и неравенства) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Уравнение 1: \( |x| = \sqrt{5} \)

\n

\n
• По определению модуля: \( x = \sqrt{5} \) или \( x = -\sqrt{5} \).
\n
• Множество корней: \( M_1 = \{ -\sqrt{5}, \sqrt{5} \} \).
\n

\n

Уравнение 2: \( x^2 = 5 \)

\n

\n
• Корни: \( x = \pm \sqrt{5} \).
\n
• Множество корней: \( M_2 = \{ -\sqrt{5}, \sqrt{5} \} \).
\n

\n

Вывод: Множества корней совпадают (\( M_1 = M_2 \)). Уравнения равносильны. Каждое из них является следствием другого.

Уравнение 1: \( \frac{x - 2}{x + 3} = \frac{x - 3}{x + 2} \)

\n

\n
• ОДЗ: \( x \neq -3 \) и \( x \neq -2 \).
\n
• Перемножим крест-накрест (при \( x \in \text{ОДЗ} \)). Это равносильное преобразование.
\n
• \( (x - 2)(x + 2) = (x - 3)(x + 3) \).
\n
• Раскроем скобки (используя формулу разности квадратов): \( x^2 - 4 = x^2 - 9 \).
\n
• Перенесем \( x^2 \): \( -4 = -9 \).
\n
• Равенство \( -4 = -9 \) неверно, что означает, что уравнение 1 не имеет корней.
\n
• Множество корней: \( M_1 = \emptyset \).
\n

\n

Уравнение 2: \( (x - 2)(x + 2) = (x - 3)(x + 3) \)

\n

\n
• Раскроем скобки: \( x^2 - 4 = x^2 - 9 \).
\n
• Перенесем \( x^2 \): \( -4 = -9 \).
\n
• Уравнение 2 не имеет корней.
\n
• Множество корней: \( M_2 = \emptyset \).
\n

\n

Вывод: Множества корней совпадают (\( M_1 = M_2 = \emptyset \)). Уравнения равносильны. Каждое из них является следствием другого.

Уравнения (неравенства), имеющие одно и то же множество корней, называются равносильными. Уравнения (неравенства), не имеющие корней, также являются равносильными.

Если каждый корень первого уравнения является корнем второго уравнения, то второе уравнение называется следствием первого.

Если перенести член уравнения из одной части в другую с противоположным знаком, то получится уравнение, равносильное данному. Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному. Если обе части уравнения возвести в нечетную степень, то получится уравнение, равносильное данному. Если обе части уравнения \( f(x) = g(x) \) умножить на выражение \( \varphi(x) \), которое имеет смысл при всех значениях \( x \) из области определения уравнения и \( \varphi(x) \neq 0 \), то получится уравнение \( f(x) \cdot \varphi(x) = g(x) \cdot \varphi(x) \), равносильное данному.

Возведение обеих частей уравнения в четную степень может привести к уравнению-следствию, т.е. могут появиться посторонние корни. При умножении обеих частей уравнения на выражение, содержащее переменную, также могут появиться посторонние корни.

Неравенства \( f(x) > g(x) \) и \( \varphi(x) > \psi(x) \) равносильны, если множества их решений совпадают. Например, неравенства \( x^2 > 0 \) и \( x \neq 0 \) равносильны.