ГДЗ: Упражнение 148 - § 8 (Равносильные уравнения и неравенства) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Шаг 1: Определение ОДЗ и приведение к общему знаменателю.

\n

\n
• Общий знаменатель: \( x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1) \).
\n
• ОДЗ: \( x \neq 1 \) и \( x \neq -1 \).
\n
• Приведем все к общему знаменателю \( x^2 - 1 \):
\n
• \( \frac{3(x + 1)}{(x - 1)(x + 1)} - \frac{4x - 1}{x^2 - 1} = -5 \).
\n
• Перенесем \( -5 \) влево: \( \frac{3x + 3 - (4x - 1)}{x^2 - 1} + 5 = 0 \).
\n
• \( \frac{3x + 3 - 4x + 1}{x^2 - 1} + \frac{5(x^2 - 1)}{x^2 - 1} = 0 \).
\n
• \( \frac{-x + 4 + 5x^2 - 5}{x^2 - 1} = 0 \).
\n
• \( \frac{5x^2 - x - 1}{x^2 - 1} = 0 \).
\n

\n

Шаг 2: Решение числителя.

\n

\n
• Приравняем числитель к нулю: \( 5x^2 - x - 1 = 0 \).
\n
• Найдем дискриминант: \( D = (-1)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-1) = 1 + 20 = 21 \).
\n
• Корни: \( x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{21}}{2 \cdot 5} = \frac{1 \pm \sqrt{21}}{10} \).
\n

\n

Шаг 3: Проверка принадлежности корней ОДЗ.

\n

\n
• ОДЗ: \( x \neq \pm 1 \).
\n
• \( \sqrt{21} \approx 4.58 \).
\n
• \( x_1 = \frac{1 + \sqrt{21}}{10} \approx \frac{5.58}{10} = 0.558 \). Подходит.
\n
• \( x_2 = \frac{1 - \sqrt{21}}{10} \approx \frac{1 - 4.58}{10} = -0.358 \). Подходит.
\n

\n

Ответ: Корнями уравнения являются \( x_1 = \frac{1 - \sqrt{21}}{10} \) и \( x_2 = \frac{1 + \sqrt{21}}{10} \).

Шаг 1: Определение ОДЗ и приведение к общему знаменателю.

\n

\n
• Общий знаменатель: \( x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2) \).
\n
• ОДЗ: \( x \neq 2 \) и \( x \neq -2 \).
\n
• Приведем все к общему знаменателю:
\n
• \( \frac{(x + 2)(x + 2)}{(x - 2)(x + 2)} - \frac{x(x - 4)}{(x - 2)(x + 2)} = \frac{4(3 + x)(x - 2)}{(x + 2)(x - 2)} \).
\n

\n

Шаг 2: Умножение на знаменатель и решение числителя.

\n

\n
• Умножим обе части на \( x^2 - 4 \) (при \( x \in \text{ОДЗ} \)):
\n
• \( (x + 2)^2 - x(x - 4) = 4(3 + x)(x - 2) \).
\n
• Раскроем скобки: \( (x^2 + 4x + 4) - (x^2 - 4x) = 4 (3x - 6 + x^2 - 2x) \).
\n
• Упростим левую часть: \( x^2 + 4x + 4 - x^2 + 4x = 8x + 4 \).
\n
• Упростим правую часть: \( 4(x^2 + x - 6) = 4x^2 + 4x - 24 \).
\n
• Приравняем части: \( 8x + 4 = 4x^2 + 4x - 24 \).
\n

\n

Шаг 3: Решение квадратного уравнения.

\n

\n
• Перенесем все в одну сторону (например, вправо): \( 4x^2 + 4x - 8x - 24 - 4 = 0 \).
\n
• Упростим: \( 4x^2 - 4x - 28 = 0 \).
\n
• Разделим на 4: \( x^2 - x - 7 = 0 \).
\n
• Найдем дискриминант: \( D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-7) = 1 + 28 = 29 \).
\n
• Корни: \( x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{29}}{2 \cdot 1} = \frac{1 \pm \sqrt{29}}{2} \).
\n

\n

Шаг 4: Проверка принадлежности корней ОДЗ.

\n

\n
• ОДЗ: \( x \neq \pm 2 \).
\n
• \( \sqrt{29} \approx 5.38 \).
\n
• \( x_1 = \frac{1 + \sqrt{29}}{2} \approx \frac{6.38}{2} = 3.19 \). Подходит.
\n
• \( x_2 = \frac{1 - \sqrt{29}}{2} \approx \frac{1 - 5.38}{2} = -2.19 \). Подходит.
\n

\n

Ответ: Корнями уравнения являются \( x_1 = \frac{1 - \sqrt{29}}{2} \) и \( x_2 = \frac{1 + \sqrt{29}}{2} \).

Уравнения (неравенства), имеющие одно и то же множество корней, называются равносильными. Уравнения (неравенства), не имеющие корней, также являются равносильными.

Если каждый корень первого уравнения является корнем второго уравнения, то второе уравнение называется следствием первого.

Если перенести член уравнения из одной части в другую с противоположным знаком, то получится уравнение, равносильное данному. Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному. Если обе части уравнения возвести в нечетную степень, то получится уравнение, равносильное данному. Если обе части уравнения \( f(x) = g(x) \) умножить на выражение \( \varphi(x) \), которое имеет смысл при всех значениях \( x \) из области определения уравнения и \( \varphi(x) \neq 0 \), то получится уравнение \( f(x) \cdot \varphi(x) = g(x) \cdot \varphi(x) \), равносильное данному.

Возведение обеих частей уравнения в четную степень может привести к уравнению-следствию, т.е. могут появиться посторонние корни. При умножении обеих частей уравнения на выражение, содержащее переменную, также могут появиться посторонние корни.

Неравенства \( f(x) > g(x) \) и \( \varphi(x) > \psi(x) \) равносильны, если множества их решений совпадают. Например, неравенства \( x^2 > 0 \) и \( x \neq 0 \) равносильны.