ГДЗ: Упражнение 139 - § 8 (Равносильные уравнения и неравенства) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Уравнение 1: \( 3x - 7 = 5x + 5 \)

\n

\n
• Перенесем слагаемые с \( x \) влево, а числа вправо: \( 3x - 5x = 5 + 7 \).
\n
• Упростим: \( -2x = 12 \).
\n
• Разделим на \( -2 \): \( x = -6 \).
\n
• Множество корней: \( \{ -6 \} \).
\n

\n

Уравнение 2: \( 2x + 12 = 0 \)

\n

\n
• Перенесем число вправо: \( 2x = -12 \).
\n
• Разделим на \( 2 \): \( x = -6 \).
\n
• Множество корней: \( \{ -6 \} \).
\n

\n

Вывод: Множества корней совпадают. Уравнения равносильны.

Уравнение 1: \( \frac{1}{2} (2x - 1) = 1 \)

\n

\n
• Умножим обе части на 2: \( 2x - 1 = 2 \).
\n
• Перенесем число вправо: \( 2x = 2 + 1 \), т.е. \( 2x = 3 \).
\n
• Разделим на 2: \( x = 1.5 \).
\n
• Множество корней: \( \{ 1.5 \} \).
\n

\n

Уравнение 2: \( \frac{3x - 1}{8} = 1 \)

\n

\n
• Умножим обе части на 8: \( 3x - 1 = 8 \).
\n
• Перенесем число вправо: \( 3x = 8 + 1 \), т.е. \( 3x = 9 \).
\n
• Разделим на 3: \( x = 3 \).
\n
• Множество корней: \( \{ 3 \} \).
\n

\n

Вывод: Множества корней разные (\( 1.5 \neq 3 \)). Уравнения не равносильны.

Уравнение 1: \( x^2 - 3x + 2 = 0 \)

\n

\n
• Решим квадратное уравнение. По теореме Виета или через дискриминант найдем корни. \( x_1 = 1 \), \( x_2 = 2 \), так как \( 1 + 2 = 3 \) и \( 1 \cdot 2 = 2 \).
\n
• Множество корней: \( \{ 1, 2 \} \).
\n

\n

Уравнение 2: \( x^2 + 3x + 2 = 0 \)

\n

\n
• Решим квадратное уравнение. По теореме Виета или через дискриминант найдем корни. \( x_1 = -1 \), \( x_2 = -2 \), так как \( (-1) + (-2) = -3 \) и \( (-1) \cdot (-2) = 2 \).
\n
• Множество корней: \( \{ -1, -2 \} \).
\n

\n

Вывод: Множества корней разные. Уравнения не равносильны.

Уравнение 1: \( (x - 5)^2 = 3(x - 5) \)

\n

\n
• Перенесем слагаемое в левую часть: \( (x - 5)^2 - 3(x - 5) = 0 \).
\n
• Вынесем общий множитель \( (x - 5) \): \( (x - 5) [ (x - 5) - 3 ] = 0 \).
\n
• Упростим: \( (x - 5)(x - 8) = 0 \).
\n
• Корни: \( x - 5 = 0 \implies x_1 = 5 \) и \( x - 8 = 0 \implies x_2 = 8 \).
\n
• Множество корней: \( \{ 5, 8 \} \).
\n

\n

Уравнение 2: \( x - 5 = 3 \)

\n

\n
• Перенесем число вправо: \( x = 3 + 5 \).
\n
• Корень: \( x = 8 \).
\n
• Множество корней: \( \{ 8 \} \).
\n

\n

Вывод: Множества корней разные (\( \{ 5, 8 \} \neq \{ 8 \} \)). Уравнения не равносильны. Уравнение 2 является следствием уравнения 1, но не равносильно ему.

Уравнение 1: \( x^2 - 1 = 0 \)

\n

\n
• Разложим на множители: \( (x - 1)(x + 1) = 0 \).
\n
• Корни: \( x_1 = 1 \) и \( x_2 = -1 \).
\n
• Множество корней: \( \{ 1, -1 \} \).
\n

\n

Уравнение 2: \( 2x - 1 = 0 \)

\n

\n
• Перенесем число вправо: \( 2x = 1 \).
\n
• Разделим на 2: \( x = \frac{1}{2} \).
\n
• Множество корней: \( \{ 0.5 \} \).
\n

\n

Вывод: Множества корней разные. Уравнения не равносильны.

Уравнение 1: \( |x - 2| = -3 \)

\n

\n
• Модуль любого действительного числа неотрицателен, т.е. \( |x - 2| \ge 0 \).
\n
• Равенство \( |x - 2| = -3 \) невозможно.
\n
• Множество корней: пустое (\( \emptyset \)).
\n

\n

Уравнение 2: \( 3^x = (-1)^x \)

\n

\n
• Функция \( 3^x \) всегда положительна.
\n
• Функция \( (-1)^x \) определена только для целых значений \( x \). Однако, даже для целых \( x \), \( (-1)^x \) может быть \( -1 \) (при нечетных \( x \)).
\n
• Если \( x \) — целое число, то \( 3^x > 0 \). Если \( x \) — нечетное целое число, то \( (-1)^x = -1 \). Тогда \( 3^x = -1 \), что невозможно. Если \( x \) — четное целое число, то \( (-1)^x = 1 \). Тогда \( 3^x = 1 \), что выполняется только при \( x = 0 \).
\n
• Если рассматривать \( x \) как действительное число, то \( (-1)^x \) не определено для большинства \( x \). В контексте школьной алгебры, где обычно подразумеваются действительные числа, это уравнение не имеет решений.
\n
• Множество корней: пустое (\( \emptyset \)).
\n

\n

Вывод: Оба уравнения не имеют корней, то есть их множества корней совпадают (оба пустые). Уравнения равносильны.

Уравнения (неравенства), имеющие одно и то же множество корней, называются равносильными. Уравнения (неравенства), не имеющие корней, также являются равносильными.

Если каждый корень первого уравнения является корнем второго уравнения, то второе уравнение называется следствием первого.

Если перенести член уравнения из одной части в другую с противоположным знаком, то получится уравнение, равносильное данному. Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному. Если обе части уравнения возвести в нечетную степень, то получится уравнение, равносильное данному. Если обе части уравнения \( f(x) = g(x) \) умножить на выражение \( \varphi(x) \), которое имеет смысл при всех значениях \( x \) из области определения уравнения и \( \varphi(x) \neq 0 \), то получится уравнение \( f(x) \cdot \varphi(x) = g(x) \cdot \varphi(x) \), равносильное данному.

Возведение обеих частей уравнения в четную степень может привести к уравнению-следствию, т.е. могут появиться посторонние корни. При умножении обеих частей уравнения на выражение, содержащее переменную, также могут появиться посторонние корни.

Неравенства \( f(x) > g(x) \) и \( \varphi(x) > \psi(x) \) равносильны, если множества их решений совпадают. Например, неравенства \( x^2 > 0 \) и \( x \neq 0 \) равносильны.