ГДЗ: Упражнение 141 - § 8 (Равносильные уравнения и неравенства) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Уравнение 1: \( x - 3 = 0 \)

\n

\n
• Корень: \( x = 3 \).
\n
• Множество корней: \( M_1 = \{ 3 \} \).
\n

\n

Уравнение 2: \( x^2 - 5x + 6 = 0 \)

\n

\n
• По теореме Виета, корни \( x_1 = 2 \), \( x_2 = 3 \) (так как \( 2 + 3 = 5 \) и \( 2 \cdot 3 = 6 \)).
\n
• Множество корней: \( M_2 = \{ 2, 3 \} \).
\n

\n

Вывод: Множество корней первого уравнения \( M_1 = \{ 3 \} \) является подмножеством множества корней второго уравнения \( M_2 = \{ 2, 3 \} \), т.е. \( M_1 \subset M_2 \).

\n

Следовательно, второе уравнение \( x^2 - 5x + 6 = 0 \) является следствием первого уравнения \( x - 3 = 0 \).

Уравнение 1: \( \frac{x^2 - 3x + 2}{x - 1} = 0 \)

\n

\n
• ОДЗ: \( x - 1 \neq 0 \implies x \neq 1 \).
\n
• Числитель равен нулю: \( x^2 - 3x + 2 = 0 \). Корни \( x_1 = 1 \), \( x_2 = 2 \).
\n
• Проверка ОДЗ: корень \( x_1 = 1 \) не подходит (\( 1 \neq 1 \)). Корень \( x_2 = 2 \) подходит.
\n
• Множество корней: \( M_1 = \{ 2 \} \).
\n

\n

Уравнение 2: \( x^2 - 3x + 2 = 0 \)

\n

\n
• Корни: \( x_1 = 1 \), \( x_2 = 2 \).
\n
• Множество корней: \( M_2 = \{ 1, 2 \} \).
\n

\n

Вывод: Множество корней первого уравнения \( M_1 = \{ 2 \} \) является подмножеством множества корней второго уравнения \( M_2 = \{ 1, 2 \} \), т.е. \( M_1 \subset M_2 \).

\n

Следовательно, второе уравнение \( x^2 - 3x + 2 = 0 \) является следствием первого уравнения \( \frac{x^2 - 3x + 2}{x - 1} = 0 \).

Уравнения (неравенства), имеющие одно и то же множество корней, называются равносильными. Уравнения (неравенства), не имеющие корней, также являются равносильными.

Если каждый корень первого уравнения является корнем второго уравнения, то второе уравнение называется следствием первого.

Если перенести член уравнения из одной части в другую с противоположным знаком, то получится уравнение, равносильное данному. Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному. Если обе части уравнения возвести в нечетную степень, то получится уравнение, равносильное данному. Если обе части уравнения \( f(x) = g(x) \) умножить на выражение \( \varphi(x) \), которое имеет смысл при всех значениях \( x \) из области определения уравнения и \( \varphi(x) \neq 0 \), то получится уравнение \( f(x) \cdot \varphi(x) = g(x) \cdot \varphi(x) \), равносильное данному.

Возведение обеих частей уравнения в четную степень может привести к уравнению-следствию, т.е. могут появиться посторонние корни. При умножении обеих частей уравнения на выражение, содержащее переменную, также могут появиться посторонние корни.

Неравенства \( f(x) > g(x) \) и \( \varphi(x) > \psi(x) \) равносильны, если множества их решений совпадают. Например, неравенства \( x^2 > 0 \) и \( x \neq 0 \) равносильны.