ГДЗ: Упражнение 140 - § 8 (Равносильные уравнения и неравенства) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Неравенство 1: \( 2x - 1 \ge 2 \)

\n

\n
• Перенесем число: \( 2x \ge 2 + 1 \), т.е. \( 2x \ge 3 \).
\n
• Разделим на 2: \( x \ge 1.5 \).
\n
• Множество решений: \( [ 1.5; +\infty ) \).
\n

\n

Неравенство 2: \( 2(x - 1) \ge 1 \)

\n

\n
• Раскроем скобки: \( 2x - 2 \ge 1 \).
\n
• Перенесем число: \( 2x \ge 1 + 2 \), т.е. \( 2x \ge 3 \).
\n
• Разделим на 2: \( x \ge 1.5 \).
\n
• Множество решений: \( [ 1.5; +\infty ) \).
\n

\n

Вывод: Множества решений совпадают. Неравенства равносильны.

Неравенство 1: \( x(x - 1) + 2(x - 1) < 0 \)

\n

\n
• Вынесем общий множитель \( (x - 1) \): \( (x - 1)(x + 2) < 0 \).
\n
• Метод интервалов: корни \( x = 1 \) и \( x = -2 \). Парабола ветвями вверх.
\n
• Решение: \( -2 < x < 1 \).
\n
• Множество решений: \( ( -2; 1 ) \).
\n

\n

Неравенство 2: \( x^2 + x < 2 \)

\n

\n
• Перенесем число: \( x^2 + x - 2 < 0 \).
\n
• Найдем корни квадратного трехчлена \( x^2 + x - 2 = 0 \). По теореме Виета: \( x_1 = -2 \), \( x_2 = 1 \) (так как \( (-2) + 1 = -1 \) и \( (-2) \cdot 1 = -2 \)).
\n
• Неравенство \( x^2 + x - 2 < 0 \) выполняется между корнями.
\n
• Решение: \( -2 < x < 1 \).
\n
• Множество решений: \( ( -2; 1 ) \).
\n

\n

Вывод: Множества решений совпадают. Неравенства равносильны.

Неравенство 1: \( (x - 2)(x + 1) < 0 \)

\n

\n
• Корни: \( x = 2 \) и \( x = -1 \).
\n
• Неравенство выполняется между корнями.
\n
• Решение: \( -1 < x < 2 \).
\n
• Множество решений: \( ( -1; 2 ) \).
\n

\n

Неравенство 2: \( x^2 + x < 2x - 3 \)

\n

\n
• Перенесем слагаемые в левую часть: \( x^2 + x - 2x + 3 < 0 \).
\n
• Упростим: \( x^2 - x + 3 < 0 \).
\n
• Рассмотрим квадратный трехчлен \( x^2 - x + 3 \). Дискриминант: \( D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 1 - 12 = -11 \).
\n
• Так как \( D < 0 \) и старший коэффициент \( a = 1 > 0 \), парабола \( y = x^2 - x + 3 \) полностью лежит выше оси \( x \).
\n
• Следовательно, неравенство \( x^2 - x + 3 < 0 \) не имеет решений.
\n
• Множество решений: пустое (\( \emptyset \)).
\n

\n

Вывод: Множества решений разные. Неравенства не равносильны.

Неравенство 1: \( x(x + 3) \ge 2x \)

\n

\n
• Раскроем скобки и перенесем \( 2x \): \( x^2 + 3x - 2x \ge 0 \).
\n
• Упростим: \( x^2 + x \ge 0 \).
\n
• Разложим на множители: \( x(x + 1) \ge 0 \).
\n
• Метод интервалов: корни \( x = 0 \) и \( x = -1 \). Парабола ветвями вверх.
\n
• Решение: \( x \le -1 \) или \( x \ge 0 \).
\n
• Множество решений: \( ( -\infty; -1 ] \cup [ 0; +\infty ) \).
\n

\n

Неравенство 2: \( x^2 + (x + 3) \ge 2x^2 \)

\n

\n
• Перенесем все в одну сторону (например, вправо, чтобы старший коэффициент был положительным): \( 0 \ge 2x^2 - x^2 - x - 3 \).
\n
• Упростим: \( 0 \ge x^2 - x - 3 \), или \( x^2 - x - 3 \le 0 \).
\n
• Найдем корни квадратного трехчлена \( x^2 - x - 3 = 0 \). Дискриминант: \( D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 1 + 12 = 13 \).
\n
• Корни: \( x_1 = \frac{1 - \sqrt{13}}{2} \approx \frac{1 - 3.6}{2} \approx -1.3 \), \( x_2 = \frac{1 + \sqrt{13}}{2} \approx \frac{1 + 3.6}{2} \approx 2.3 \).
\n
• Неравенство \( x^2 - x - 3 \le 0 \) выполняется между корнями.
\n
• Множество решений: \( [ \frac{1 - \sqrt{13}}{2}; \frac{1 + \sqrt{13}}{2} ] \).
\n

\n

Вывод: Множества решений разные. Неравенства не равносильны.

Уравнения (неравенства), имеющие одно и то же множество корней, называются равносильными. Уравнения (неравенства), не имеющие корней, также являются равносильными.

Если каждый корень первого уравнения является корнем второго уравнения, то второе уравнение называется следствием первого.

Если перенести член уравнения из одной части в другую с противоположным знаком, то получится уравнение, равносильное данному. Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному. Если обе части уравнения возвести в нечетную степень, то получится уравнение, равносильное данному. Если обе части уравнения \( f(x) = g(x) \) умножить на выражение \( \varphi(x) \), которое имеет смысл при всех значениях \( x \) из области определения уравнения и \( \varphi(x) \neq 0 \), то получится уравнение \( f(x) \cdot \varphi(x) = g(x) \cdot \varphi(x) \), равносильное данному.

Возведение обеих частей уравнения в четную степень может привести к уравнению-следствию, т.е. могут появиться посторонние корни. При умножении обеих частей уравнения на выражение, содержащее переменную, также могут появиться посторонние корни.

Неравенства \( f(x) > g(x) \) и \( \varphi(x) > \psi(x) \) равносильны, если множества их решений совпадают. Например, неравенства \( x^2 > 0 \) и \( x \neq 0 \) равносильны.