ГДЗ: Упражнение 142 - § 8 (Равносильные уравнения и неравенства) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Шаг 1: Определение ОДЗ и приведение к общему знаменателю.

\n

\n
• Общий знаменатель: \( x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1) \).
\n
• ОДЗ: \( x \neq 1 \) и \( x \neq -1 \).
\n
• Приведем левую часть к общему знаменателю: \( \frac{x(x - 1)}{(x + 1)(x - 1)} + \frac{2x(x + 1)}{(x - 1)(x + 1)} = \frac{4x}{x^2 - 1} \).
\n
• \( \frac{x^2 - x + 2x^2 + 2x}{x^2 - 1} = \frac{4x}{x^2 - 1} \).
\n

\n

Шаг 2: Умножение на знаменатель и решение числителя.

\n

\n
• Умножим обе части на \( x^2 - 1 \) (при \( x \in \text{ОДЗ} \)). Это равносильное преобразование.
\n
• \( 3x^2 + x = 4x \).
\n
• Перенесем \( 4x \) влево: \( 3x^2 + x - 4x = 0 \), т.е. \( 3x^2 - 3x = 0 \).
\n
• Вынесем общий множитель \( 3x \): \( 3x(x - 1) = 0 \).
\n

\n

Шаг 3: Нахождение корней.

\n

\n
• Корни: \( 3x = 0 \implies x_1 = 0 \) и \( x - 1 = 0 \implies x_2 = 1 \).
\n

\n

Шаг 4: Проверка принадлежности корней ОДЗ.

\n

\n
• Корень \( x_1 = 0 \) принадлежит ОДЗ.
\n
• Корень \( x_2 = 1 \) не принадлежит ОДЗ (\( x \neq 1 \)). Это посторонний корень.
\n

\n

Ответ: Корнем уравнения является \( x = 0 \).

Шаг 1: Определение ОДЗ.

\n

\n
• Знаменатель \( x - 2 \neq 0 \).
\n
• ОДЗ: \( x \neq 2 \).
\n

\n

Шаг 2: Умножение на знаменатель.

\n

\n
• Умножим обе части на \( x - 2 \) (при \( x \in \text{ОДЗ} \)). Это равносильное преобразование.
\n
• \( x - 1 = 1 \).
\n

\n

Шаг 3: Решение линейного уравнения.

\n

\n
• Перенесем число: \( x = 1 + 1 \).
\n
• Корень: \( x = 2 \).
\n

\n

Шаг 4: Проверка принадлежности корня ОДЗ.

\n

\n
• Корень \( x = 2 \) не принадлежит ОДЗ (\( x \neq 2 \)).
\n

\n

Ответ: Уравнение не имеет корней.

Шаг 1: Приведение к стандартному виду.

\n

\n
• Перенесем правую часть влево: \( (x - 3)(x - 5) - 3(x - 5) = 0 \).
\n

\n

Шаг 2: Разложение на множители.

\n

\n
• Вынесем общий множитель \( (x - 5) \): \( (x - 5) [ (x - 3) - 3 ] = 0 \).
\n
• Упростим: \( (x - 5)(x - 6) = 0 \).
\n

\n

Шаг 3: Нахождение корней.

\n

\n
• Приравняем каждый множитель к нулю:
\n
• \( x - 5 = 0 \implies x_1 = 5 \).
\n
• \( x - 6 = 0 \implies x_2 = 6 \).
\n

\n

Ответ: Корнями уравнения являются \( x_1 = 5 \) и \( x_2 = 6 \).

Шаг 1: Приведение к стандартному виду.

\n

\n
• Перенесем правую часть влево: \( (x - 2)(x^2 + 1) - 2(x^2 + 1) = 0 \).
\n

\n

Шаг 2: Разложение на множители.

\n

\n
• Вынесем общий множитель \( (x^2 + 1) \): \( (x^2 + 1) [ (x - 2) - 2 ] = 0 \).
\n
• Упростим: \( (x^2 + 1)(x - 4) = 0 \).
\n

\n

Шаг 3: Нахождение корней.

\n

\n
• Разберем множители:
\n
• Множитель \( x^2 + 1 \): уравнение \( x^2 + 1 = 0 \) не имеет действительных корней, так как \( x^2 \ge 0 \implies x^2 + 1 \ge 1 \).
\n
• Множитель \( x - 4 \): \( x - 4 = 0 \implies x = 4 \).
\n

\n

Ответ: Корнем уравнения является \( x = 4 \).

Уравнения (неравенства), имеющие одно и то же множество корней, называются равносильными. Уравнения (неравенства), не имеющие корней, также являются равносильными.

Если каждый корень первого уравнения является корнем второго уравнения, то второе уравнение называется следствием первого.

Если перенести член уравнения из одной части в другую с противоположным знаком, то получится уравнение, равносильное данному. Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному. Если обе части уравнения возвести в нечетную степень, то получится уравнение, равносильное данному. Если обе части уравнения \( f(x) = g(x) \) умножить на выражение \( \varphi(x) \), которое имеет смысл при всех значениях \( x \) из области определения уравнения и \( \varphi(x) \neq 0 \), то получится уравнение \( f(x) \cdot \varphi(x) = g(x) \cdot \varphi(x) \), равносильное данному.

Возведение обеих частей уравнения в четную степень может привести к уравнению-следствию, т.е. могут появиться посторонние корни. При умножении обеих частей уравнения на выражение, содержащее переменную, также могут появиться посторонние корни.

Неравенства \( f(x) > g(x) \) и \( \varphi(x) > \psi(x) \) равносильны, если множества их решений совпадают. Например, неравенства \( x^2 > 0 \) и \( x \neq 0 \) равносильны.