ГДЗ: Упражнение 150 - § 8 (Равносильные уравнения и неравенства) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Для доказательства равносильности двух уравнений \( A(x) = B(x) \) и \( C(x) = D(x) \) необходимо доказать две импликации:

\n

\n
1. Если \( x_0 \) — корень уравнения \( f(x) = g(x) \), то \( x_0 \) — корень уравнения \( f(x) \cdot \varphi(x) = g(x) \cdot \varphi(x) \).
\n
2. Если \( x_0 \) — корень уравнения \( f(x) \cdot \varphi(x) = g(x) \cdot \varphi(x) \), то \( x_0 \) — корень уравнения \( f(x) = g(x) \).
\n

\n

Доказательство 1: \( f(x) = g(x) \implies f(x) \cdot \varphi(x) = g(x) \cdot \varphi(x) \)

\n

\n
• Пусть \( x_0 \in X \) — корень первого уравнения, то есть \( f(x_0) = g(x_0) \).
\n
• Умножим обе части равенства \( f(x_0) = g(x_0) \) на значение \( \varphi(x_0) \).
\n
• Получим: \( f(x_0) \cdot \varphi(x_0) = g(x_0) \cdot \varphi(x_0) \).
\n
• Следовательно, \( x_0 \) является корнем второго уравнения.
\n

\n

Доказательство 2: \( f(x) \cdot \varphi(x) = g(x) \cdot \varphi(x) \implies f(x) = g(x) \)

\n

\n
• Пусть \( x_0 \in X \) — корень второго уравнения, то есть \( f(x_0) \cdot \varphi(x_0) = g(x_0) \cdot \varphi(x_0) \).
\n
• Перенесем слагаемое из правой части в левую: \( f(x_0) \cdot \varphi(x_0) - g(x_0) \cdot \varphi(x_0) = 0 \).
\n
• Вынесем общий множитель \( \varphi(x_0) \): \( \varphi(x_0) [ f(x_0) - g(x_0) ] = 0 \).
\n
• По условию, \( \varphi(x) \neq 0 \) для всех \( x \in X \), значит \( \varphi(x_0) \neq 0 \).
\n
• Поскольку произведение равно нулю, а один из множителей не равен нулю, то должен быть равен нулю второй множитель: \( f(x_0) - g(x_0) = 0 \).
\n
• Отсюда следует: \( f(x_0) = g(x_0) \).
\n
• Следовательно, \( x_0 \) является корнем первого уравнения.
\n

\n

Вывод: Так как доказаны обе импликации, уравнения \( f(x) = g(x) \) и \( f(x) \cdot \varphi(x) = g(x) \cdot \varphi(x) \) равносильны на множестве \( X \).

Уравнения (неравенства), имеющие одно и то же множество корней, называются равносильными. Уравнения (неравенства), не имеющие корней, также являются равносильными.

Если каждый корень первого уравнения является корнем второго уравнения, то второе уравнение называется следствием первого.

Если перенести член уравнения из одной части в другую с противоположным знаком, то получится уравнение, равносильное данному. Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному. Если обе части уравнения возвести в нечетную степень, то получится уравнение, равносильное данному. Если обе части уравнения \( f(x) = g(x) \) умножить на выражение \( \varphi(x) \), которое имеет смысл при всех значениях \( x \) из области определения уравнения и \( \varphi(x) \neq 0 \), то получится уравнение \( f(x) \cdot \varphi(x) = g(x) \cdot \varphi(x) \), равносильное данному.

Возведение обеих частей уравнения в четную степень может привести к уравнению-следствию, т.е. могут появиться посторонние корни. При умножении обеих частей уравнения на выражение, содержащее переменную, также могут появиться посторонние корни.

Неравенства \( f(x) > g(x) \) и \( \varphi(x) > \psi(x) \) равносильны, если множества их решений совпадают. Например, неравенства \( x^2 > 0 \) и \( x \neq 0 \) равносильны.