ГДЗ: Упражнение 145 - § 8 (Равносильные уравнения и неравенства) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Уравнение 1: \( 2x - 1 = 4 - 1.5x \)

\n

\n
• Перенесем слагаемые с \( x \) влево, числа вправо: \( 2x + 1.5x = 4 + 1 \).
\n
• Упростим: \( 3.5x = 5 \).
\n
• Перенесем 5 влево: \( 3.5x - 5 = 0 \).
\n
• Корень: \( x = \frac{5}{3.5} = \frac{50}{35} = \frac{10}{7} \).
\n
• Множество корней: \( M_1 = \{ \frac{10}{7} \} \).
\n

\n

Уравнение 2: \( 3.5x - 5 = 0 \)

\n

\n
• Решаем: \( 3.5x = 5 \).
\n
• Корень: \( x = \frac{5}{3.5} = \frac{10}{7} \).
\n
• Множество корней: \( M_2 = \{ \frac{10}{7} \} \).
\n

\n

Вывод: Множества корней совпадают. Уравнения равносильны.

Уравнение 1: \( x(x - 1) = 2x + 5 \)

\n

\n
• Раскроем скобки: \( x^2 - x = 2x + 5 \).
\n
• Перенесем все в левую часть: \( x^2 - x - 2x - 5 = 0 \).
\n
• Упростим: \( x^2 - 3x - 5 = 0 \).
\n
• Множество корней: \( M_1 \) (корни уравнения \( x^2 - 3x - 5 = 0 \)).
\n

\n

Уравнение 2: \( x^2 - 3x - 5 = 0 \)

\n

\n
• Множество корней: \( M_2 \) (корни уравнения \( x^2 - 3x - 5 = 0 \)).
\n

\n

Вывод: Оба уравнения тождественны, их множества корней совпадают. Уравнения равносильны.

Уравнение 1: \( 2^{3x^2 + 1} = 2^{3x + 3} \)

\n

\n
• Поскольку основания степеней равны (и больше 1), то показатели степеней должны быть равны. Это равносильный переход.
\n
• \( 3x^2 + 1 = 3x + 3 \).
\n
• Перенесем все в левую часть: \( 3x^2 - 3x + 1 - 3 = 0 \), т.е. \( 3x^2 - 3x - 2 = 0 \).
\n
• Множество корней: \( M_1 \) (корни уравнения \( 3x^2 - 3x - 2 = 0 \)).
\n

\n

Уравнение 2: \( 3x^2 + 1 = 3x + 3 \)

\n

\n
• Это уравнение совпадает с полученным в Шаге 1.
\n
• Перенесем все в левую часть: \( 3x^2 - 3x - 2 = 0 \).
\n
• Множество корней: \( M_2 \) (корни уравнения \( 3x^2 - 3x - 2 = 0 \)).
\n

\n

Вывод: Множества корней совпадают. Уравнения равносильны.

Уравнение 1: \( \sqrt{x + 2} = 3 \)

\n

\n
• ОДЗ: \( x + 2 \ge 0 \implies x \ge -2 \).
\n
• Возведем обе части в квадрат: \( (\sqrt{x + 2})^2 = 3^2 \).
\n
• Получим: \( x + 2 = 9 \).
\n
• Решим: \( x = 9 - 2 \implies x = 7 \).
\n
• Проверка ОДЗ: \( 7 \ge -2 \) (подходит).
\n
• Множество корней: \( M_1 = \{ 7 \} \).
\n

\n

Уравнение 2: \( x + 2 = 9 \)

\n

\n
• Решим: \( x = 7 \).
\n
• Множество корней: \( M_2 = \{ 7 \} \).
\n

\n

Вывод: Множества корней совпадают. Уравнения равносильны. (В данном случае возведение в квадрат не привело к появлению посторонних корней, так как правая часть исходного уравнения неотрицательна).

Уравнения (неравенства), имеющие одно и то же множество корней, называются равносильными. Уравнения (неравенства), не имеющие корней, также являются равносильными.

Если каждый корень первого уравнения является корнем второго уравнения, то второе уравнение называется следствием первого.

Если перенести член уравнения из одной части в другую с противоположным знаком, то получится уравнение, равносильное данному. Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному. Если обе части уравнения возвести в нечетную степень, то получится уравнение, равносильное данному. Если обе части уравнения \( f(x) = g(x) \) умножить на выражение \( \varphi(x) \), которое имеет смысл при всех значениях \( x \) из области определения уравнения и \( \varphi(x) \neq 0 \), то получится уравнение \( f(x) \cdot \varphi(x) = g(x) \cdot \varphi(x) \), равносильное данному.

Возведение обеих частей уравнения в четную степень может привести к уравнению-следствию, т.е. могут появиться посторонние корни. При умножении обеих частей уравнения на выражение, содержащее переменную, также могут появиться посторонние корни.

Неравенства \( f(x) > g(x) \) и \( \varphi(x) > \psi(x) \) равносильны, если множества их решений совпадают. Например, неравенства \( x^2 > 0 \) и \( x \neq 0 \) равносильны.