ГДЗ: Упражнение 143 - § 8 (Равносильные уравнения и неравенства) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Шаг 1: Определение ОДЗ и преобразование.

\n

\n
• Знаменатель \( 2 + x^2 \) всегда положительный, так как \( x^2 \ge 0 \). ОДЗ: \( x \in \mathbb{R} \).
\n
• Умножим обе части неравенства на положительное выражение \( 2 + x^2 \). Знак неравенства не изменится. Это равносильное преобразование.
\n
• \( x + 3 < 3(2 + x^2) \).
\n

\n

Шаг 2: Приведение к квадратному неравенству.

\n

\n
• Раскроем скобки: \( x + 3 < 6 + 3x^2 \).
\n
• Перенесем все в правую часть: \( 0 < 3x^2 + 6 - 3 - x \).
\n
• Получим: \( 3x^2 - x + 3 > 0 \).
\n

\n

Шаг 3: Анализ квадратного трехчлена.

\n

\n
• Рассмотрим квадратный трехчлен \( y = 3x^2 - x + 3 \).
\n
• Старший коэффициент \( a = 3 > 0 \) (парабола ветвями вверх).
\n
• Найдем дискриминант: \( D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 1 - 36 = -35 \).
\n
• Так как \( D < 0 \), квадратный трехчлен не имеет действительных корней.
\n
• Поскольку \( a > 0 \) и \( D < 0 \), парабола полностью лежит выше оси \( x \).
\n
• Следовательно, неравенство \( 3x^2 - x + 3 > 0 \) выполняется для всех действительных \( x \).
\n

\n

Ответ: Неравенство справедливо при всех \( x \in (-\infty; +\infty) \).

Шаг 1: Приведение к стандартному виду.

\n

\n
• Перенесем 1 в левую часть: \( \frac{x - 2}{5 - x} - 1 > 0 \).
\n
• Приведем к общему знаменателю \( 5 - x \): \( \frac{x - 2}{5 - x} - \frac{1 \cdot (5 - x)}{5 - x} > 0 \).
\n
• Объединим дроби: \( \frac{(x - 2) - (5 - x)}{5 - x} > 0 \).
\n
• Упростим числитель: \( \frac{x - 2 - 5 + x}{5 - x} > 0 \), т.е. \( \frac{2x - 7}{5 - x} > 0 \).
\n

\n

Шаг 2: Умножение на \( -1 \) в знаменателе.

\n

\n
• Для удобства применим правило: \( \frac{A}{B} > 0 \iff A \cdot B > 0 \), или заменим \( 5 - x \) на \( - (x - 5) \).
\n
• \( \frac{2x - 7}{-(x - 5)} > 0 \). Умножим на \( -1 \), поменяв знак неравенства: \( \frac{2x - 7}{x - 5} < 0 \).
\n

\n

Шаг 3: Метод интервалов.

\n

\n
• Нули числителя: \( 2x - 7 = 0 \implies x = 3.5 \).
\n
• Нули знаменателя: \( x - 5 = 0 \implies x = 5 \).
\n
• Отметим эти точки на числовой прямой и определим знаки на интервалах.
\n
• Интервалы: \( (-\infty; 3.5) \), \( (3.5; 5) \), \( (5; +\infty) \).
\n
• Подставим тестовые значения (например, 0, 4, 6):
\n
\n
• \( x = 0: \frac{2(0) - 7}{0 - 5} = \frac{-7}{-5} = 1.4 > 0 \). Знак: "+".
\n
• \( x = 4: \frac{2(4) - 7}{4 - 5} = \frac{1}{-1} = -1 < 0 \). Знак: "-".
\n
• \( x = 6: \frac{2(6) - 7}{6 - 5} = \frac{5}{1} = 5 > 0 \). Знак: "+".
\n
\n
• Нас интересует интервал, где \( \frac{2x - 7}{x - 5} < 0 \), т.е. знак "-".
\n

\n

Шаг 4: Запись ответа.

\n

\n
• Решение: \( 3.5 < x < 5 \).
\n

\n

Ответ: Решением неравенства является интервал \( (3.5; 5) \).

Уравнения (неравенства), имеющие одно и то же множество корней, называются равносильными. Уравнения (неравенства), не имеющие корней, также являются равносильными.

Если каждый корень первого уравнения является корнем второго уравнения, то второе уравнение называется следствием первого.

Если перенести член уравнения из одной части в другую с противоположным знаком, то получится уравнение, равносильное данному. Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному. Если обе части уравнения возвести в нечетную степень, то получится уравнение, равносильное данному. Если обе части уравнения \( f(x) = g(x) \) умножить на выражение \( \varphi(x) \), которое имеет смысл при всех значениях \( x \) из области определения уравнения и \( \varphi(x) \neq 0 \), то получится уравнение \( f(x) \cdot \varphi(x) = g(x) \cdot \varphi(x) \), равносильное данному.

Возведение обеих частей уравнения в четную степень может привести к уравнению-следствию, т.е. могут появиться посторонние корни. При умножении обеих частей уравнения на выражение, содержащее переменную, также могут появиться посторонние корни.

Неравенства \( f(x) > g(x) \) и \( \varphi(x) > \psi(x) \) равносильны, если множества их решений совпадают. Например, неравенства \( x^2 > 0 \) и \( x \neq 0 \) равносильны.