ГДЗ: Упражнение 144 - § 8 (Равносильные уравнения и неравенства) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Уравнение 1: \( |2x - 1| = 3 \)

\n

\n
• По определению модуля: \( 2x - 1 = 3 \) или \( 2x - 1 = -3 \).
\n
• Случай 1: \( 2x = 3 + 1 \implies 2x = 4 \implies x_1 = 2 \).
\n
• Случай 2: \( 2x = -3 + 1 \implies 2x = -2 \implies x_2 = -1 \).
\n
• Множество корней: \( M_1 = \{ -1, 2 \} \).
\n

\n

Уравнение 2: \( 2x - 1 = 3 \)

\n

\n
• Решаем линейное уравнение: \( 2x = 4 \implies x = 2 \).
\n
• Множество корней: \( M_2 = \{ 2 \} \).
\n

\n

Вывод: Множества корней разные (\( M_1 \neq M_2 \)). Уравнения не равносильны.

Уравнение 1: \( \frac{3x - 2}{3} - \frac{4 - x}{2} = \frac{3x - 5}{6} \)

\n

\n
• Общий знаменатель: 6. Умножим обе части на 6. Это равносильное преобразование.
\n
• \( 6 \cdot \frac{3x - 2}{3} - 6 \cdot \frac{4 - x}{2} = 6 \cdot \frac{3x - 5}{6} \).
\n
• \( 2(3x - 2) - 3(4 - x) = 3x - 5 \).
\n
• Раскроем скобки: \( 6x - 4 - 12 + 3x = 3x - 5 \).
\n
• Приведем подобные: \( 9x - 16 = 3x - 5 \).
\n
• Перенесем слагаемые: \( 9x - 3x = -5 + 16 \), т.е. \( 6x = 11 \).
\n
• Разделим на 6: \( x = \frac{11}{6} \).
\n
• Множество корней: \( M_1 = \{ \frac{11}{6} \} \).
\n

\n

Уравнение 2: \( 2x - 2 = 10 \)

\n

\n
• Перенесем число: \( 2x = 10 + 2 \), т.е. \( 2x = 12 \).
\n
• Разделим на 2: \( x = 6 \).
\n
• Множество корней: \( M_2 = \{ 6 \} \).
\n

\n

Вывод: Множества корней разные (\( M_1 \neq M_2 \), так как \( \frac{11}{6} \neq 6 \)). Уравнения не равносильны.

Уравнение 1: \( 2x + 3 = \frac{2x + 3}{6} \)

\n

\n
• Перенесем слагаемое: \( 2x + 3 - \frac{2x + 3}{6} = 0 \).
\n
• Вынесем общий множитель \( (2x + 3) \): \( (2x + 3) \left( 1 - \frac{1}{6} \right) = 0 \).
\n
• Упростим скобку: \( 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6} \).
\n
• Получим: \( (2x + 3) \cdot \frac{5}{6} = 0 \).
\n
• Так как \( \frac{5}{6} \neq 0 \), то \( 2x + 3 = 0 \).
\n
• Решим: \( 2x = -3 \implies x = -1.5 \).
\n
• Множество корней: \( M_1 = \{ -1.5 \} \).
\n

\n

Уравнение 2: \( 2x + 3 = 0 \)

\n

\n
• Решим: \( 2x = -3 \implies x = -1.5 \).
\n
• Множество корней: \( M_2 = \{ -1.5 \} \).
\n

\n

Вывод: Множества корней совпадают. Уравнения равносильны.

Уравнения (неравенства), имеющие одно и то же множество корней, называются равносильными. Уравнения (неравенства), не имеющие корней, также являются равносильными.

Если каждый корень первого уравнения является корнем второго уравнения, то второе уравнение называется следствием первого.

Если перенести член уравнения из одной части в другую с противоположным знаком, то получится уравнение, равносильное данному. Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному. Если обе части уравнения возвести в нечетную степень, то получится уравнение, равносильное данному. Если обе части уравнения \( f(x) = g(x) \) умножить на выражение \( \varphi(x) \), которое имеет смысл при всех значениях \( x \) из области определения уравнения и \( \varphi(x) \neq 0 \), то получится уравнение \( f(x) \cdot \varphi(x) = g(x) \cdot \varphi(x) \), равносильное данному.

Возведение обеих частей уравнения в четную степень может привести к уравнению-следствию, т.е. могут появиться посторонние корни. При умножении обеих частей уравнения на выражение, содержащее переменную, также могут появиться посторонние корни.

Неравенства \( f(x) > g(x) \) и \( \varphi(x) > \psi(x) \) равносильны, если множества их решений совпадают. Например, неравенства \( x^2 > 0 \) и \( x \neq 0 \) равносильны.