Нейросеть

Главная / Учебники / Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы / § 11 / Задание 192

ГДЗ: Упражнение 192 - § 11 (Показательная функция, её свойства и график) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Страницы: 72, 75, 76, 77
Глава: Глава 3
Параграф: § 11 - Показательная функция, её свойства и график
Учебник: Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы -
Автор: Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год: 2025
Издание:

192 упражнение:

Построить график функции:

1) \( y = 3^x \)

Шаг 1: Определение типа функции. Функция \( y = 3^x \) является показательной функцией с основанием \( a = 3 \). Так как \( 3 > 1 \), функция возрастает на всей области определения \( (-\infty; +\infty) \).

  • Область определения: \( D(y) = (-\infty; +\infty) \).

  • Область значений: \( E(y) = (0; +\infty) \).

  • Проходит через точку: \( (0; 3^0) = (0; 1) \).

Шаг 2: Построение точек. Составим таблицу значений:

  • При \( x = 1 \): \( y = 3^1 = 3 \). Точка \( (1; 3) \).

  • При \( x = 2 \): \( y = 3^2 = 9 \). Точка \( (2; 9) \).

  • При \( x = -1 \): \( y = 3^{-1} = \frac{1}{3} \approx 0.33 \). Точка \( (-1; \frac{1}{3}) \).

  • При \( x = -2 \): \( y = 3^{-2} = \frac{1}{9} \approx 0.11 \). Точка \( (-2; \frac{1}{9}) \).

Шаг 3: Построение графика. Отмечаем найденные точки и соединяем их плавной кривой. График асимптотически приближается к оси абсцисс \( (y = 0) \) при \( x \to -\infty \).

2) \( y = (\frac{1}{3})^x \)

Шаг 1: Определение типа функции. Функция \( y = (\frac{1}{3})^x \) является показательной функцией с основанием \( a = \frac{1}{3} \). Так как \( 0 < \frac{1}{3} < 1 \), функция убывает на всей области определения \( (-\infty; +\infty) \).

  • Область определения: \( D(y) = (-\infty; +\infty) \).

  • Область значений: \( E(y) = (0; +\infty) \).

  • Проходит через точку: \( (0; (\frac{1}{3})^0) = (0; 1) \).

Шаг 2: Построение точек. Составим таблицу значений:

  • При \( x = 1 \): \( y = (\frac{1}{3})^1 = \frac{1}{3} \approx 0.33 \). Точка \( (1; \frac{1}{3}) \).

  • При \( x = 2 \): \( y = (\frac{1}{3})^2 = \frac{1}{9} \approx 0.11 \). Точка \( (2; \frac{1}{9}) \).

  • При \( x = -1 \): \( y = (\frac{1}{3})^{-1} = 3 \). Точка \( (-1; 3) \).

  • При \( x = -2 \): \( y = (\frac{1}{3})^{-2} = 9 \). Точка \( (-2; 9) \).

Шаг 3: Построение графика. Отмечаем найденные точки и соединяем их плавной кривой. График асимптотически приближается к оси абсцисс \( (y = 0) \) при \( x \to +\infty \).
Замечание: График функции \( y = (\frac{1}{3})^x \) симметричен графику \( y = 3^x \) относительно оси ординат (оси \( Oy \)), так как \( (\frac{1}{3})^x = (3^{-1})^x = 3^{-x} \).

Что применять при решении

Определение показательной функции
Функция вида \( y = a^x \), где \( a \) — заданное положительное число, не равное 1, \( x \) — переменная. Область определения — множество всех действительных чисел \( (-\infty; +\infty) \). Область значений — множество всех положительных чисел \( (0; +\infty) \). График всегда проходит через точку \( (0; 1) \).
\( y = a^x, \quad a > 0, \quad a \neq 1 \)
Свойства показательной функции при основании \( a > 1 \)
Функция \( y = a^x \) является возрастающей на всей области определения. Если \( x_1 < x_2 \), то \( a^{x_1} < a^{x_2} \). Используется для сравнения чисел и решения неравенств: \( a^{x_1} < a^{x_2} \iff x_1 < x_2 \).
\( a^x > 1 \text{, если } x > 0 \)
Свойства показательной функции при основании \( 0 < a < 1 \)
Функция \( y = a^x \) является убывающей на всей области определения. Если \( x_1 < x_2 \), то \( a^{x_1} > a^{x_2} \). Используется для сравнения чисел и решения неравенств: \( a^{x_1} < a^{x_2} \iff x_1 > x_2 \).
\( a^x > 1 \text{, если } x < 0 \)
Основные свойства степени
Основные правила действий со степенями, используемые для преобразования выражений и решения уравнений/неравенств.
\( a^{x_1} a^{x_2} = a^{x_1 + x_2}, \quad \frac{a^{x_1}}{a^{x_2}} = a^{x_1 - x_2}, \quad (a^{x_1})^{x_2} = a^{x_1 x_2}, \quad (ab)^x = a^x b^x, \quad (\frac{a}{b})^x = \frac{a^x}{b^x} \)
Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке
Для непрерывной функции, возрастающей на отрезке \( [A; B] \), наименьшее значение достигается в левой точке \( y_{\min} = f(A) \), наибольшее — в правой \( y_{\max} = f(B) \). Для убывающей функции, наоборот: \( y_{\min} = f(B) \), \( y_{\max} = f(A) \).

Задали создать проект?

Создай с помощью ИИ за 5 минут

До 90% уникальность
Готовый файл Word
15-30 страниц
Список источников по ГОСТ
Оформление по ГОСТ
Таблицы и схемы

Другие упражнения из параграфа § 11

192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207
Уведомление об авторском праве и цитировании

ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.