ГДЗ: Упражнение 205 - § 11 (Показательная функция, её свойства и график) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Шаг 1: Анализ функции. Функция \( y = 2^{|x|} \) является чётной, так как \( y(-x) = 2^{|-x|} = 2^{|x|} = y(x) \). График симметричен относительно оси \( Oy \).

Шаг 2: Построение для \( x \ge 0 \). При \( x \ge 0 \), \( |x| = x \), и функция принимает вид \( y = 2^x \). Строим график \( y = 2^x \) для \( x \in [0; +\infty) \).
На этом интервале функция возрастает, проходит через \( (0; 1) \), \( (1; 2) \), \( (2; 4) \).

Шаг 3: Построение для \( x < 0 \). При \( x < 0 \), \( |x| = -x \), и функция принимает вид \( y = 2^{-x} = (\frac{1}{2})^x \). Строим график \( y = (\frac{1}{2})^x \) для \( x \in (-\infty; 0) \).
На этом интервале функция убывает, проходит через \( (-1; 2) \), \( (-2; 4) \).

Шаг 4: Общий график. Объединяем части. График имеет форму, похожую на букву 'U', с вершиной в точке \( (0; 1) \).

• Область определения: \( D(y) = (-\infty; +\infty) \).

• Область значений: \( E(y) = [1; +\infty) \).

Шаг 1: Анализ функции. Функция \( y = (\frac{1}{3})^{|x|} \) также является чётной, так как \( y(-x) = (\frac{1}{3})^{|-x|} = (\frac{1}{3})^{|x|} = y(x) \). График симметричен относительно оси \( Oy \).

Шаг 2: Построение для \( x \ge 0 \). При \( x \ge 0 \), \( |x| = x \), и функция принимает вид \( y = (\frac{1}{3})^x \). Строим график \( y = (\frac{1}{3})^x \) для \( x \in [0; +\infty) \).
На этом интервале функция убывает, проходит через \( (0; 1) \), \( (1; \frac{1}{3}) \), \( (2; \frac{1}{9}) \). Асимптота \( y = 0 \) при \( x \to +\infty \).

Шаг 3: Построение для \( x < 0 \). При \( x < 0 \), \( |x| = -x \), и функция принимает вид \( y = (\frac{1}{3})^{-x} = 3^x \). Строим график \( y = 3^x \) для \( x \in (-\infty; 0) \).
На этом интервале функция возрастает, проходит через \( (-1; 3) \), \( (-2; 9) \). Асимптота \( y = 0 \) при \( x \to -\infty \).

Шаг 4: Общий график. Объединяем части. График имеет форму, похожую на букву 'A', с вершиной в точке \( (0; 1) \).

• Область определения: \( D(y) = (-\infty; +\infty) \).

• Область значений: \( E(y) = (0; 1] \).

Шаг 1: Построение вспомогательного графика. Сначала строим график функции \( y_1 = 3^x - 2 \) (см. Упр. 201, вар. 1).
Точка пересечения с \( Ox \): \( x = \log_3 2 \approx 0.63 \).
Точка пересечения с \( Oy \): \( (0; -1) \).
Асимптота \( y = -2 \).

Шаг 2: Применение модуля. График функции \( y = |3^x - 2| \) получается из графика \( y_1 = 3^x - 2 \) следующим образом:

• Часть графика, лежащая выше оси \( Ox \) (где \( 3^x - 2 \ge 0 \)), остается без изменений. Это происходит при \( x \ge \log_3 2 \).

• Часть графика, лежащая ниже оси \( Ox \) (где \( 3^x - 2 < 0 \)), отражается симметрично относительно оси \( Ox \). Это происходит при \( x < \log_3 2 \).

Шаг 3: Свойства.

• Новая асимптота: \( y = |-2| = 2 \) при \( x \to -\infty \).

• Точки излома на оси \( Ox \): \( (\log_3 2; 0) \).

• Область значений: \( E(y) = [0; +\infty) \).

Шаг 1: Преобразование. Функцию \( y = 2 - 3^x \) можно представить как \( y = -3^x + 2 \). График получается из графика \( y_1 = 3^x \) с помощью двух преобразований:

• Отражение относительно оси \( Ox \) (получаем \( y = -3^x \)).

• Сдвиг на 2 единицы вверх вдоль оси \( Oy \) (получаем \( y = -3^x + 2 \)).

Шаг 2: Построение.

• Горизонтальная асимптота \( y = 0 \) после отражения остается \( y = 0 \), после сдвига становится \( y = 2 \).

• Точка пересечения с \( Oy \): \( (0; 2 - 3^0) = (0; 2 - 1) = (0; 1) \).

• Точка пересечения с \( Ox \) (при \( y = 0 \)): \( 2 - 3^x = 0 \implies 3^x = 2 \implies x = \log_3 2 \approx 0.63 \). Точка \( (\log_3 2; 0) \).

Шаг 3: Свойства. Функция \( y = 3^x \) возрастает. Отражение относительно оси \( Ox \) меняет монотонность, поэтому \( y = 2 - 3^x \) убывает.