Нейросеть

Главная / Учебники / Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы / § 11 / Задание 201

ГДЗ: Упражнение 201 - § 11 (Показательная функция, её свойства и график) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Страницы: 72, 75, 76, 77
Глава: Глава 3
Параграф: § 11 - Показательная функция, её свойства и график
Учебник: Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы -
Автор: Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год: 2025
Издание:

201 упражнение:

Построить график функции:

1) \( y = 3^x - 2 \)

Шаг 1: Преобразование. График функции \( y = 3^x - 2 \) получается из графика основной показательной функции \( y = 3^x \) путем сдвига на 2 единицы вниз вдоль оси \( Oy \).

  • График \( y = 3^x \) проходит через \( (0; 1) \) и имеет горизонтальную асимптоту \( y = 0 \).

Шаг 2: Построение.

  • Новая горизонтальная асимптота: \( y = -2 \).

  • Новая точка пересечения с \( Oy \): \( (0; 3^0 - 2) = (0; 1 - 2) = (0; -1) \).

  • Точка пересечения с \( Ox \) (при \( y = 0 \)): \( 3^x - 2 = 0 \implies 3^x = 2 \implies x = \log_3 2 \approx 0.63 \).

Шаг 3: Свойства. Основание \( 3 > 1 \), следовательно, функция возрастает.

2) \( y = (\frac{1}{2})^x + 3 \)

Шаг 1: Преобразование. График функции \( y = (\frac{1}{2})^x + 3 \) получается из графика основной показательной функции \( y = (\frac{1}{2})^x \) путем сдвига на 3 единицы вверх вдоль оси \( Oy \).

  • График \( y = (\frac{1}{2})^x \) проходит через \( (0; 1) \) и имеет горизонтальную асимптоту \( y = 0 \).

Шаг 2: Построение.

  • Новая горизонтальная асимптота: \( y = 3 \).

  • Новая точка пересечения с \( Oy \): \( (0; (\frac{1}{2})^0 + 3) = (0; 1 + 3) = (0; 4) \).

  • Нет точки пересечения с \( Ox \), так как \( y = (\frac{1}{2})^x + 3 > 3 > 0 \).

Шаг 3: Свойства. Основание \( \frac{1}{2} < 1 \), следовательно, функция убывает.

3) \( y = 2^{x + 1} \)

Шаг 1: Преобразование. График функции \( y = 2^{x + 1} \) получается из графика основной показательной функции \( y = 2^x \) путем сдвига на 1 единицу влево вдоль оси \( Ox \).

  • График \( y = 2^x \) проходит через \( (0; 1) \) и имеет горизонтальную асимптоту \( y = 0 \).

Шаг 2: Построение.

  • Горизонтальная асимптота остается \( y = 0 \).

  • Новая точка пересечения с \( Oy \): \( (0; 2^{0 + 1}) = (0; 2) \).

  • Новая точка на графике: \( x = -1 \implies y = 2^{-1 + 1} = 2^0 = 1 \). Точка \( (-1; 1) \).

Шаг 3: Свойства. Основание \( 2 > 1 \), следовательно, функция возрастает.

4) \( y = 3^{x - 2} \)

Шаг 1: Преобразование. График функции \( y = 3^{x - 2} \) получается из графика основной показательной функции \( y = 3^x \) путем сдвига на 2 единицы вправо вдоль оси \( Ox \).

  • График \( y = 3^x \) проходит через \( (0; 1) \) и имеет горизонтальную асимптоту \( y = 0 \).

Шаг 2: Построение.

  • Горизонтальная асимптота остается \( y = 0 \).

  • Новая точка пересечения с \( Oy \): \( (0; 3^{0 - 2}) = (0; 3^{-2}) = (0; \frac{1}{9}) \).

  • Новая точка на графике: \( x = 2 \implies y = 3^{2 - 2} = 3^0 = 1 \). Точка \( (2; 1) \).

Шаг 3: Свойства. Основание \( 3 > 1 \), следовательно, функция возрастает.

Что применять при решении

Определение показательной функции
Функция вида \( y = a^x \), где \( a \) — заданное положительное число, не равное 1, \( x \) — переменная. Область определения — множество всех действительных чисел \( (-\infty; +\infty) \). Область значений — множество всех положительных чисел \( (0; +\infty) \). График всегда проходит через точку \( (0; 1) \).
\( y = a^x, \quad a > 0, \quad a \neq 1 \)
Свойства показательной функции при основании \( a > 1 \)
Функция \( y = a^x \) является возрастающей на всей области определения. Если \( x_1 < x_2 \), то \( a^{x_1} < a^{x_2} \). Используется для сравнения чисел и решения неравенств: \( a^{x_1} < a^{x_2} \iff x_1 < x_2 \).
\( a^x > 1 \text{, если } x > 0 \)
Свойства показательной функции при основании \( 0 < a < 1 \)
Функция \( y = a^x \) является убывающей на всей области определения. Если \( x_1 < x_2 \), то \( a^{x_1} > a^{x_2} \). Используется для сравнения чисел и решения неравенств: \( a^{x_1} < a^{x_2} \iff x_1 > x_2 \).
\( a^x > 1 \text{, если } x < 0 \)
Основные свойства степени
Основные правила действий со степенями, используемые для преобразования выражений и решения уравнений/неравенств.
\( a^{x_1} a^{x_2} = a^{x_1 + x_2}, \quad \frac{a^{x_1}}{a^{x_2}} = a^{x_1 - x_2}, \quad (a^{x_1})^{x_2} = a^{x_1 x_2}, \quad (ab)^x = a^x b^x, \quad (\frac{a}{b})^x = \frac{a^x}{b^x} \)
Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке
Для непрерывной функции, возрастающей на отрезке \( [A; B] \), наименьшее значение достигается в левой точке \( y_{\min} = f(A) \), наибольшее — в правой \( y_{\max} = f(B) \). Для убывающей функции, наоборот: \( y_{\min} = f(B) \), \( y_{\max} = f(A) \).

Задали создать проект?

Создай с помощью ИИ за 5 минут

До 90% уникальность
Готовый файл Word
15-30 страниц
Список источников по ГОСТ
Оформление по ГОСТ
Таблицы и схемы

Другие упражнения из параграфа § 11

192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207
Уведомление об авторском праве и цитировании

ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.