Нейросеть

Главная / Учебники / Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы / § 11 / Задание 197

ГДЗ: Упражнение 197 - § 11 (Показательная функция, её свойства и график) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Страницы: 72, 75, 76, 77
Глава: Глава 3
Параграф: § 11 - Показательная функция, её свойства и график
Учебник: Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы -
Автор: Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год: 2025
Издание:

197 упражнение:

Найти координаты точки пересечения графиков функций:

1) \( y = 2^x \text{ и } y = 8 \)

Шаг 1: Составление уравнения. Координаты точки пересечения графиков функций \( y = 2^x \) и \( y = 8 \) находятся из условия равенства их значений:

  • \( 2^x = 8 \).

Шаг 2: Решение показательного уравнения. Представим число 8 как степень с основанием 2:

  • \( 2^x = 2^3 \).

  • Так как основания равны и \( 2 \neq 1 \), то показатели степени также должны быть равны: \( x = 3 \).

Шаг 3: Нахождение координаты \( y \). Подставим найденное значение \( x = 3 \) в любую из функций (например, \( y = 8 \)):

  • \( y = 8 \).

Ответ: Точка пересечения имеет координаты \( (3; 8) \).

2) \( y = 3^x \text{ и } y = \frac{1}{3} \)

Шаг 1: Составление уравнения. Координаты точки пересечения графиков функций \( y = 3^x \) и \( y = \frac{1}{3} \) находятся из условия равенства их значений:

  • \( 3^x = \frac{1}{3} \).

Шаг 2: Решение показательного уравнения. Представим число \( \frac{1}{3} \) как степень с основанием 3:

  • \( 3^x = 3^{-1} \).

  • Так как основания равны и \( 3 \neq 1 \), то показатели степени также должны быть равны: \( x = -1 \).

Шаг 3: Нахождение координаты \( y \). Подставим найденное значение \( x = -1 \) в любую из функций (например, \( y = \frac{1}{3} \)):

  • \( y = \frac{1}{3} \).

Ответ: Точка пересечения имеет координаты \( (-1; \frac{1}{3}) \).

3) \( y = (\frac{1}{4})^x \text{ и } y = 16 \)

Шаг 1: Составление уравнения. Координаты точки пересечения графиков функций \( y = (\frac{1}{4})^x \) и \( y = 16 \) находятся из условия равенства их значений:

  • \( (\frac{1}{4})^x = 16 \).

Шаг 2: Решение показательного уравнения. Представим обе части уравнения в виде степени с основанием \( 4 \) или \( \frac{1}{4} \).
Используем основание \( \frac{1}{4} = 4^{-1} \):

  • \( (\frac{1}{4})^x = 4^2 \).

  • \( (4^{-1})^x = 4^2 \).

  • \( 4^{-x} = 4^2 \).

  • Приравниваем показатели: \( -x = 2 \), отсюда \( x = -2 \).

Шаг 3: Нахождение координаты \( y \). Подставим найденное значение \( x = -2 \) в любую из функций (например, \( y = 16 \)):

  • \( y = 16 \).

Ответ: Точка пересечения имеет координаты \( (-2; 16) \).

4) \( y = (\frac{1}{3})^x \text{ и } y = 9 \)

Шаг 1: Составление уравнения. Координаты точки пересечения графиков функций \( y = (\frac{1}{3})^x \) и \( y = 9 \) находятся из условия равенства их значений:

  • \( (\frac{1}{3})^x = 9 \).

Шаг 2: Решение показательного уравнения. Представим обе части уравнения в виде степени с основанием \( 3 \) или \( \frac{1}{3} \).
Используем основание \( 3 \):

  • \( (3^{-1})^x = 3^2 \).

  • \( 3^{-x} = 3^2 \).

  • Приравниваем показатели: \( -x = 2 \), отсюда \( x = -2 \).

Шаг 3: Нахождение координаты \( y \). Подставим найденное значение \( x = -2 \) в любую из функций (например, \( y = 9 \)):

  • \( y = 9 \).

Ответ: Точка пересечения имеет координаты \( (-2; 9) \).

Что применять при решении

Определение показательной функции
Функция вида \( y = a^x \), где \( a \) — заданное положительное число, не равное 1, \( x \) — переменная. Область определения — множество всех действительных чисел \( (-\infty; +\infty) \). Область значений — множество всех положительных чисел \( (0; +\infty) \). График всегда проходит через точку \( (0; 1) \).
\( y = a^x, \quad a > 0, \quad a \neq 1 \)
Свойства показательной функции при основании \( a > 1 \)
Функция \( y = a^x \) является возрастающей на всей области определения. Если \( x_1 < x_2 \), то \( a^{x_1} < a^{x_2} \). Используется для сравнения чисел и решения неравенств: \( a^{x_1} < a^{x_2} \iff x_1 < x_2 \).
\( a^x > 1 \text{, если } x > 0 \)
Свойства показательной функции при основании \( 0 < a < 1 \)
Функция \( y = a^x \) является убывающей на всей области определения. Если \( x_1 < x_2 \), то \( a^{x_1} > a^{x_2} \). Используется для сравнения чисел и решения неравенств: \( a^{x_1} < a^{x_2} \iff x_1 > x_2 \).
\( a^x > 1 \text{, если } x < 0 \)
Основные свойства степени
Основные правила действий со степенями, используемые для преобразования выражений и решения уравнений/неравенств.
\( a^{x_1} a^{x_2} = a^{x_1 + x_2}, \quad \frac{a^{x_1}}{a^{x_2}} = a^{x_1 - x_2}, \quad (a^{x_1})^{x_2} = a^{x_1 x_2}, \quad (ab)^x = a^x b^x, \quad (\frac{a}{b})^x = \frac{a^x}{b^x} \)
Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке
Для непрерывной функции, возрастающей на отрезке \( [A; B] \), наименьшее значение достигается в левой точке \( y_{\min} = f(A) \), наибольшее — в правой \( y_{\max} = f(B) \). Для убывающей функции, наоборот: \( y_{\min} = f(B) \), \( y_{\max} = f(A) \).

Задали создать проект?

Создай с помощью ИИ за 5 минут

До 90% уникальность
Готовый файл Word
15-30 страниц
Список источников по ГОСТ
Оформление по ГОСТ
Таблицы и схемы

Другие упражнения из параграфа § 11

192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207
Уведомление об авторском праве и цитировании

ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.