Нейросеть

Главная / Учебники / Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы / § 11 / Задание 200

ГДЗ: Упражнение 200 - § 11 (Показательная функция, её свойства и график) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Страницы: 72, 75, 76, 77
Глава: Глава 3
Параграф: § 11 - Показательная функция, её свойства и график
Учебник: Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы -
Автор: Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год: 2025
Издание:

200 упражнение:

Решить графически неравенство:

1) \( (\frac{1}{3})^x > 1 \)

Шаг 1: Построение графиков. Рассмотрим функции \( y = (\frac{1}{3})^x \) и \( y = 1 \).

  • График \( y = (\frac{1}{3})^x \) — это убывающая показательная функция, проходящая через \( (0; 1) \), так как основание \( \frac{1}{3} < 1 \).

  • График \( y = 1 \) — это горизонтальная прямая, проходящая через \( (0; 1) \).

Шаг 2: Решение неравенства. Неравенство \( (\frac{1}{3})^x > 1 \) означает, что нужно найти такие значения \( x \), при которых график \( y = (\frac{1}{3})^x \) расположен выше прямой \( y = 1 \).

  • Точка пересечения: \( (\frac{1}{3})^x = 1 \implies x = 0 \).

  • Так как функция \( y = (\frac{1}{3})^x \) убывает, то её значения больше 1 при \( x < 0 \).

Ответ: Решением неравенства является интервал \( (-\infty; 0) \).

2) \( (\frac{1}{3})^x < 1 \)

Шаг 1: Построение графиков. Рассмотрим функции \( y = (\frac{1}{3})^x \) и \( y = 1 \). (см. вар. 1)

Шаг 2: Решение неравенства. Неравенство \( (\frac{1}{3})^x < 1 \) означает, что нужно найти такие значения \( x \), при которых график \( y = (\frac{1}{3})^x \) расположен ниже прямой \( y = 1 \).

  • Точка пересечения: \( x = 0 \).

  • Так как функция \( y = (\frac{1}{3})^x \) убывает, то её значения меньше 1 при \( x > 0 \).

Ответ: Решением неравенства является интервал \( (0; +\infty) \).

3) \( 5^x > 5 \)

Шаг 1: Построение графиков. Рассмотрим функции \( y = 5^x \) и \( y = 5 \).

  • График \( y = 5^x \) — это возрастающая показательная функция, так как основание \( 5 > 1 \).

  • График \( y = 5 \) — это горизонтальная прямая.

Шаг 2: Решение неравенства. Неравенство \( 5^x > 5 \) означает, что нужно найти такие значения \( x \), при которых график \( y = 5^x \) расположен выше прямой \( y = 5 \).

  • Точка пересечения: \( 5^x = 5 \implies 5^x = 5^1 \implies x = 1 \).

  • Так как функция \( y = 5^x \) возрастает, то её значения больше 5 при \( x > 1 \).

Ответ: Решением неравенства является интервал \( (1; +\infty) \).

4) \( 5^x < \frac{1}{5} \)

Шаг 1: Построение графиков. Рассмотрим функции \( y = 5^x \) и \( y = \frac{1}{5} \).

  • График \( y = 5^x \) — это возрастающая показательная функция, так как основание \( 5 > 1 \).

  • График \( y = \frac{1}{5} \) — это горизонтальная прямая, \( y = 0.2 \).

Шаг 2: Решение неравенства. Неравенство \( 5^x < \frac{1}{5} \) означает, что нужно найти такие значения \( x \), при которых график \( y = 5^x \) расположен ниже прямой \( y = \frac{1}{5} \).

  • Точка пересечения: \( 5^x = \frac{1}{5} \implies 5^x = 5^{-1} \implies x = -1 \).

  • Так как функция \( y = 5^x \) возрастает, то её значения меньше \( \frac{1}{5} \) при \( x < -1 \).

Ответ: Решением неравенства является интервал \( (-\infty; -1) \).

Что применять при решении

Определение показательной функции
Функция вида \( y = a^x \), где \( a \) — заданное положительное число, не равное 1, \( x \) — переменная. Область определения — множество всех действительных чисел \( (-\infty; +\infty) \). Область значений — множество всех положительных чисел \( (0; +\infty) \). График всегда проходит через точку \( (0; 1) \).
\( y = a^x, \quad a > 0, \quad a \neq 1 \)
Свойства показательной функции при основании \( a > 1 \)
Функция \( y = a^x \) является возрастающей на всей области определения. Если \( x_1 < x_2 \), то \( a^{x_1} < a^{x_2} \). Используется для сравнения чисел и решения неравенств: \( a^{x_1} < a^{x_2} \iff x_1 < x_2 \).
\( a^x > 1 \text{, если } x > 0 \)
Свойства показательной функции при основании \( 0 < a < 1 \)
Функция \( y = a^x \) является убывающей на всей области определения. Если \( x_1 < x_2 \), то \( a^{x_1} > a^{x_2} \). Используется для сравнения чисел и решения неравенств: \( a^{x_1} < a^{x_2} \iff x_1 > x_2 \).
\( a^x > 1 \text{, если } x < 0 \)
Основные свойства степени
Основные правила действий со степенями, используемые для преобразования выражений и решения уравнений/неравенств.
\( a^{x_1} a^{x_2} = a^{x_1 + x_2}, \quad \frac{a^{x_1}}{a^{x_2}} = a^{x_1 - x_2}, \quad (a^{x_1})^{x_2} = a^{x_1 x_2}, \quad (ab)^x = a^x b^x, \quad (\frac{a}{b})^x = \frac{a^x}{b^x} \)
Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке
Для непрерывной функции, возрастающей на отрезке \( [A; B] \), наименьшее значение достигается в левой точке \( y_{\min} = f(A) \), наибольшее — в правой \( y_{\max} = f(B) \). Для убывающей функции, наоборот: \( y_{\min} = f(B) \), \( y_{\max} = f(A) \).

Задали создать проект?

Создай с помощью ИИ за 5 минут

До 90% уникальность
Готовый файл Word
15-30 страниц
Список источников по ГОСТ
Оформление по ГОСТ
Таблицы и схемы

Другие упражнения из параграфа § 11

192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207
Уведомление об авторском праве и цитировании

ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.