Нейросеть

Главная / Учебники / Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы / § 11 / Задание 196

ГДЗ: Упражнение 196 - § 11 (Показательная функция, её свойства и график) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Страницы: 72, 75, 76, 77
Глава: Глава 3
Параграф: § 11 - Показательная функция, её свойства и график
Учебник: Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы -
Автор: Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год: 2025
Издание:

196 упражнение:

Сравнить с единицей число:

1) \( (0.1)^{\sqrt{2}} \)

Шаг 1: Анализ основания. Основание \( a = 0.1 \). Поскольку \( 0 < 0.1 < 1 \), функция \( y = 0.1^x \) убывающая.

Шаг 2: Сравнение показателя с нулем. Показатель степени \( x = \sqrt{2} \approx 1.414 \). Так как \( \sqrt{2} > 0 \).

Шаг 3: Сравнение. Для убывающей функции \( (0 < a < 1) \):

  • Если \( x > 0 \), то \( a^x < a^0 = 1 \).

  • Поскольку \( \sqrt{2} > 0 \), то \( (0.1)^{\sqrt{2}} < (0.1)^0 = 1 \).

Ответ: \( (0.1)^{\sqrt{2}} < 1 \).

2) \( (3.5)^{0.1} \)

Шаг 1: Анализ основания. Основание \( a = 3.5 \). Поскольку \( 3.5 > 1 \), функция \( y = 3.5^x \) возрастающая.

Шаг 2: Сравнение показателя с нулем. Показатель степени \( x = 0.1 \). Так как \( 0.1 > 0 \).

Шаг 3: Сравнение. Для возрастающей функции \( (a > 1) \):

  • Если \( x > 0 \), то \( a^x > a^0 = 1 \).

  • Поскольку \( 0.1 > 0 \), то \( (3.5)^{0.1} > (3.5)^0 = 1 \).

Ответ: \( (3.5)^{0.1} > 1 \).

3) \( \pi^{-2.7} \)

Шаг 1: Анализ основания. Основание \( a = \pi \approx 3.14 \). Поскольку \( \pi > 1 \), функция \( y = \pi^x \) возрастающая.

Шаг 2: Сравнение показателя с нулем. Показатель степени \( x = -2.7 \). Так как \( -2.7 < 0 \).

Шаг 3: Сравнение. Для возрастающей функции \( (a > 1) \):

  • Если \( x < 0 \), то \( a^x < a^0 = 1 \).

  • Поскольку \( -2.7 < 0 \), то \( \pi^{-2.7} < \pi^0 = 1 \).

Ответ: \( \pi^{-2.7} < 1 \).

4) \( (\frac{\sqrt{5}}{5})^{-1.2} \)

Шаг 1: Преобразование основания. Основание \( a = \frac{\sqrt{5}}{5} = \frac{5^{\frac{1}{2}}}{5^1} = 5^{\frac{1}{2} - 1} = 5^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{5}} \).

  • Поскольку \( \sqrt{5} \approx 2.236 \), то \( a = \frac{1}{\sqrt{5}} \approx 0.447 \). Таким образом, \( 0 < a < 1 \). Функция \( y = a^x \) убывающая.

Шаг 2: Сравнение показателя с нулем. Показатель степени \( x = -1.2 \). Так как \( -1.2 < 0 \).

Шаг 3: Сравнение. Для убывающей функции \( (0 < a < 1) \):

  • Если \( x < 0 \), то \( a^x > a^0 = 1 \).

  • Поскольку \( -1.2 < 0 \), то \( (\frac{\sqrt{5}}{5})^{-1.2} > (\frac{\sqrt{5}}{5})^0 = 1 \).

Ответ: \( (\frac{\sqrt{5}}{5})^{-1.2} > 1 \).

Что применять при решении

Определение показательной функции
Функция вида \( y = a^x \), где \( a \) — заданное положительное число, не равное 1, \( x \) — переменная. Область определения — множество всех действительных чисел \( (-\infty; +\infty) \). Область значений — множество всех положительных чисел \( (0; +\infty) \). График всегда проходит через точку \( (0; 1) \).
\( y = a^x, \quad a > 0, \quad a \neq 1 \)
Свойства показательной функции при основании \( a > 1 \)
Функция \( y = a^x \) является возрастающей на всей области определения. Если \( x_1 < x_2 \), то \( a^{x_1} < a^{x_2} \). Используется для сравнения чисел и решения неравенств: \( a^{x_1} < a^{x_2} \iff x_1 < x_2 \).
\( a^x > 1 \text{, если } x > 0 \)
Свойства показательной функции при основании \( 0 < a < 1 \)
Функция \( y = a^x \) является убывающей на всей области определения. Если \( x_1 < x_2 \), то \( a^{x_1} > a^{x_2} \). Используется для сравнения чисел и решения неравенств: \( a^{x_1} < a^{x_2} \iff x_1 > x_2 \).
\( a^x > 1 \text{, если } x < 0 \)
Основные свойства степени
Основные правила действий со степенями, используемые для преобразования выражений и решения уравнений/неравенств.
\( a^{x_1} a^{x_2} = a^{x_1 + x_2}, \quad \frac{a^{x_1}}{a^{x_2}} = a^{x_1 - x_2}, \quad (a^{x_1})^{x_2} = a^{x_1 x_2}, \quad (ab)^x = a^x b^x, \quad (\frac{a}{b})^x = \frac{a^x}{b^x} \)
Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке
Для непрерывной функции, возрастающей на отрезке \( [A; B] \), наименьшее значение достигается в левой точке \( y_{\min} = f(A) \), наибольшее — в правой \( y_{\max} = f(B) \). Для убывающей функции, наоборот: \( y_{\min} = f(B) \), \( y_{\max} = f(A) \).

Задали создать проект?

Создай с помощью ИИ за 5 минут

До 90% уникальность
Готовый файл Word
15-30 страниц
Список источников по ГОСТ
Оформление по ГОСТ
Таблицы и схемы

Другие упражнения из параграфа § 11

192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207
Уведомление об авторском праве и цитировании

ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.