Нейросеть

Главная / Учебники / Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы / § 11 / Задание 206

ГДЗ: Упражнение 206 - § 11 (Показательная функция, её свойства и график) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Страницы: 72, 75, 76, 77
Глава: Глава 3
Параграф: § 11 - Показательная функция, её свойства и график
Учебник: Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы -
Автор: Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год: 2025
Издание:

206 упражнение:

При радиоактивном распаде количество некоторого вещества уменьшается вдвое за сутки. Сколько вещества останется от 250 г через 1,5 суток, через 3,5 суток? Вычисления провести на микрокалькуляторе.

1)

Шаг 1: Моделирование распада. Процесс радиоактивного распада описывается формулой: \( m(t) = m_0 \cdot (\frac{1}{2})^{\frac{t}{T}} \), где:

  • \( m(t) \) — масса вещества, оставшаяся через время \( t \).

  • \( m_0 \) — начальная масса вещества (\( 250 \) г).

  • \( T \) — период полураспада (\( 1 \) сутки).

  • \( t \) — прошедшее время.

Для данной задачи формула имеет вид: \( m(t) = 250 \cdot (\frac{1}{2})^{\frac{t}{1}} = 250 \cdot (\frac{1}{2})^t \).

Шаг 2: Вычисление массы через 1,5 суток. Подставим \( t = 1.5 \) в формулу:

  • \( m(1.5) = 250 \cdot (\frac{1}{2})^{1.5} \).

  • Вычисляем: \( (\frac{1}{2})^{1.5} = (2^{-1})^{1.5} = 2^{-1.5} = \frac{1}{2\sqrt{2}} \approx 0.35355 \).

  • \( m(1.5) \approx 250 \cdot 0.35355 \approx 88.3875 \).

Ответ 1: Через 1,5 суток останется примерно \( 88.4 \) г вещества.

Шаг 3: Вычисление массы через 3,5 суток. Подставим \( t = 3.5 \) в формулу:

  • \( m(3.5) = 250 \cdot (\frac{1}{2})^{3.5} \).

  • Вычисляем: \( (\frac{1}{2})^{3.5} = 2^{-3.5} = \frac{1}{2^3 \cdot \sqrt{2}} = \frac{1}{8\sqrt{2}} \approx 0.088388 \).

  • \( m(3.5) \approx 250 \cdot 0.088388 \approx 22.097 \).

Ответ 2: Через 3,5 суток останется примерно \( 22.1 \) г вещества.

Что применять при решении

Определение показательной функции
Функция вида \( y = a^x \), где \( a \) — заданное положительное число, не равное 1, \( x \) — переменная. Область определения — множество всех действительных чисел \( (-\infty; +\infty) \). Область значений — множество всех положительных чисел \( (0; +\infty) \). График всегда проходит через точку \( (0; 1) \).
\( y = a^x, \quad a > 0, \quad a \neq 1 \)
Свойства показательной функции при основании \( a > 1 \)
Функция \( y = a^x \) является возрастающей на всей области определения. Если \( x_1 < x_2 \), то \( a^{x_1} < a^{x_2} \). Используется для сравнения чисел и решения неравенств: \( a^{x_1} < a^{x_2} \iff x_1 < x_2 \).
\( a^x > 1 \text{, если } x > 0 \)
Свойства показательной функции при основании \( 0 < a < 1 \)
Функция \( y = a^x \) является убывающей на всей области определения. Если \( x_1 < x_2 \), то \( a^{x_1} > a^{x_2} \). Используется для сравнения чисел и решения неравенств: \( a^{x_1} < a^{x_2} \iff x_1 > x_2 \).
\( a^x > 1 \text{, если } x < 0 \)
Основные свойства степени
Основные правила действий со степенями, используемые для преобразования выражений и решения уравнений/неравенств.
\( a^{x_1} a^{x_2} = a^{x_1 + x_2}, \quad \frac{a^{x_1}}{a^{x_2}} = a^{x_1 - x_2}, \quad (a^{x_1})^{x_2} = a^{x_1 x_2}, \quad (ab)^x = a^x b^x, \quad (\frac{a}{b})^x = \frac{a^x}{b^x} \)
Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке
Для непрерывной функции, возрастающей на отрезке \( [A; B] \), наименьшее значение достигается в левой точке \( y_{\min} = f(A) \), наибольшее — в правой \( y_{\max} = f(B) \). Для убывающей функции, наоборот: \( y_{\min} = f(B) \), \( y_{\max} = f(A) \).

Задали создать проект?

Создай с помощью ИИ за 5 минут

До 90% уникальность
Готовый файл Word
15-30 страниц
Список источников по ГОСТ
Оформление по ГОСТ
Таблицы и схемы

Другие упражнения из параграфа § 11

192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207
Уведомление об авторском праве и цитировании

ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.