Нейросеть

Главная / Учебники / Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы / § 16 / Задание 290

ГДЗ: Упражнение 290 - § 16 (Свойства логарифмов) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Страницы: 94, 95, 96
Глава: Глава 4
Параграф: § 16 - Свойства логарифмов
Учебник: Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы -
Автор: Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год: 2025
Издание:

290 упражнение:

Вычислить:

1) \( \log_{10} 5 + \log_{10} 2 \)

Шаг 1: Применим формулу логарифма произведения: \( \log_a b + \log_a c = \log_a (bc) \). В данном случае \( a = 10 \), \( b = 5 \), \( c = 2 \).

  • \( \log_{10} 5 + \log_{10} 2 = \log_{10} (5 \cdot 2) \)

    • Шаг 2: Выполним умножение в скобках.

  • \( \log_{10} (5 \cdot 2) = \log_{10} 10 \)

    • Шаг 3: Используем определение логарифма: \( \log_a a = 1 \) (так как \( a^1 = a \)).

  • \( \log_{10} 10 = 1 \)

    • Ответ: \( 1 \)

    2) \( \log_{10} 8 + \log_{10} 125 \)

    Шаг 1: Применим формулу логарифма произведения: \( \log_a b + \log_a c = \log_a (bc) \). В данном случае \( a = 10 \), \( b = 8 \), \( c = 125 \).

  • \( \log_{10} 8 + \log_{10} 125 = \log_{10} (8 \cdot 125) \)

    • Шаг 2: Выполним умножение: \( 8 \cdot 125 = 1000 \).

  • \( \log_{10} 1000 \)

    • Шаг 3: Представим \( 1000 \) как степень основания \( 10 \): \( 1000 = 10^3 \).

  • \( \log_{10} 10^3 \)

    • Шаг 4: Используем свойство логарифма степени: \( \log_a b^r = r \log_a b \) и \( \log_a a = 1 \).

  • \( 3 \log_{10} 10 = 3 \cdot 1 = 3 \)

    • Ответ: \( 3 \)

    3) \( \log_{12} 2 + \log_{12} 72 \)

    Шаг 1: Применим формулу логарифма произведения: \( \log_a b + \log_a c = \log_a (bc) \). В данном случае \( a = 12 \), \( b = 2 \), \( c = 72 \).

  • \( \log_{12} 2 + \log_{12} 72 = \log_{12} (2 \cdot 72) \)

    • Шаг 2: Выполним умножение: \( 2 \cdot 72 = 144 \).

  • \( \log_{12} 144 \)

    • Шаг 3: Представим \( 144 \) как степень основания \( 12 \): \( 144 = 12^2 \).

  • \( \log_{12} 12^2 \)

    • Шаг 4: Используем свойство логарифма степени и \( \log_a a = 1 \).

  • \( 2 \log_{12} 12 = 2 \cdot 1 = 2 \)

    • Ответ: \( 2 \)

    4) \( \log_3 6 + \log_3 \frac{3}{2} \)

    Шаг 1: Применим формулу логарифма произведения: \( \log_a b + \log_a c = \log_a (bc) \). В данном случае \( a = 3 \), \( b = 6 \), \( c = \frac{3}{2} \).

  • \( \log_3 6 + \log_3 \frac{3}{2} = \log_3 \left( 6 \cdot \frac{3}{2} \right) \)

    • Шаг 2: Выполним умножение в скобках.

  • \( \log_3 \left( \frac{6 \cdot 3}{2} \right) = \log_3 \left( \frac{18}{2} \right) = \log_3 9 \)

    • Шаг 3: Представим \( 9 \) как степень основания \( 3 \): \( 9 = 3^2 \).

  • \( \log_3 3^2 \)

    • Шаг 4: Используем свойство логарифма степени и \( \log_a a = 1 \).

  • \( 2 \log_3 3 = 2 \cdot 1 = 2 \)

    • Ответ: \( 2 \)

    Что применять при решении

    Основное логарифмическое тождество
    Степень, основание которой равно основанию логарифма, а показатель равен логарифму числа по этому основанию, равна самому числу.
    \( a^{\log_a b} = b \)
    Логарифм произведения
    Логарифм произведения двух положительных чисел равен сумме логарифмов этих чисел по тому же основанию. Основание логарифма должно быть положительным и отличным от единицы.
    \( \log_a (bc) = \log_a b + \log_a c \)
    Логарифм частного (дроби)
    Логарифм частного (дроби) двух положительных чисел равен разности логарифмов этих чисел по тому же основанию.
    \( \log_a \frac{b}{c} = \log_a b - \log_a c \)
    Логарифм степени
    Логарифм степени положительного числа равен произведению показателя степени на логарифм ее основания.
    \( \log_a b^r = r \log_a b \)
    Формула перехода к новому основанию
    Логарифм числа b по основанию a равен отношению логарифма числа b по новому основанию p к логарифму числа a по новому основанию p. Обычно используется для преобразований и вычислений.
    \( \log_a b = \frac{\log_p b}{\log_p a} \)
    Логарифм по основанию, являющемуся степенью
    Свойство, позволяющее выносить показатель степени основания логарифма как множитель, обратный показателю.
    \( \log_{a^p} b = \frac{1}{p} \log_a b \)

    Задали создать проект?

    Создай с помощью ИИ за 5 минут

    До 90% уникальность
    Готовый файл Word
    15-30 страниц
    Список источников по ГОСТ
    Оформление по ГОСТ
    Таблицы и схемы

    Другие упражнения из параграфа § 16

    290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300
    Уведомление об авторском праве и цитировании

    ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

    Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

    В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.