Нейросеть

Главная / Учебники / Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы / § 16 / Задание 300

ГДЗ: Упражнение 300 - § 16 (Свойства логарифмов) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Страницы: 94, 95, 96
Глава: Глава 4
Параграф: § 16 - Свойства логарифмов
Учебник: Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы -
Автор: Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год: 2025
Издание:

300 упражнение:

Выразить через \( a \) и \( b \):

1) \( \log_{\sqrt{3}} 50 \), если \( \log_3 15 = a \), \( \log_3 10 = b \)

Шаг 1: Преобразуем искомое выражение \( \log_{\sqrt{3}} 50 \). Используем доказанную формулу \( \log_{a^p} b = \frac{1}{p} \log_a b \). Здесь \( \sqrt{3} = 3^{\frac{1}{2}} \).

  • \( \log_{3^{\frac{1}{2}}} 50 = \frac{1}{\frac{1}{2}} \log_3 50 = 2 \log_3 50 \)

    • Шаг 2: Выразим \( 50 \) через \( 15 \) и \( 10 \). \( 50 = 5 \cdot 10 \). \( 15 = 3 \cdot 5 \). Отсюда \( 5 = \frac{15}{3} \). Тогда \( 50 = \frac{15}{3} \cdot 10 \).

  • \( 2 \log_3 50 = 2 \log_3 \left( \frac{15 \cdot 10}{3} \right) \)

    • Шаг 3: Применим свойства логарифмов к выражению \( \log_3 \left( \frac{15 \cdot 10}{3} \right) \).

  • \( 2 \left( \log_3 (15 \cdot 10) - \log_3 3 \right) \)

  • \( = 2 \left( (\log_3 15 + \log_3 10) - 1 \right) \)

    • Шаг 4: Подставим данные значения \( \log_3 15 = a \) и \( \log_3 10 = b \).

  • \( 2 (a + b - 1) \)

    • Ответ: \( 2(a + b - 1) \)

    2) \( \log_4 1250 \), если \( \log_2 5 = a \)

    Шаг 1: Преобразуем искомое выражение \( \log_4 1250 \). Применим формулу \( \log_{a^p} b = \frac{1}{p} \log_a b \). Представим основание \( 4 = 2^2 \).

  • \( \log_{2^2} 1250 = \frac{1}{2} \log_2 1250 \)

    • Шаг 2: Разложим логарифмируемое число \( 1250 \) на простые множители. \( 1250 = 125 \cdot 10 = 5^3 \cdot 2 \cdot 5 = 2 \cdot 5^4 \).

  • \( \frac{1}{2} \log_2 (2 \cdot 5^4) \)

    • Шаг 3: Применим формулу логарифма произведения: \( \log_a (PQ) = \log_a P + \log_a Q \).

  • \( \frac{1}{2} (\log_2 2 + \log_2 5^4) \)

    • Шаг 4: Упростим слагаемые: \( \log_2 2 = 1 \). Используем свойство логарифма степени: \( \log_2 5^4 = 4 \log_2 5 \).

  • \( \frac{1}{2} (1 + 4 \log_2 5) \)

    • Шаг 5: Подставим данное значение \( \log_2 5 = a \).

  • \( \frac{1}{2} (1 + 4a) \)

    • Ответ: \( \frac{1}{2} (1 + 4a) \)

    Что применять при решении

    Основное логарифмическое тождество
    Степень, основание которой равно основанию логарифма, а показатель равен логарифму числа по этому основанию, равна самому числу.
    \( a^{\log_a b} = b \)
    Логарифм произведения
    Логарифм произведения двух положительных чисел равен сумме логарифмов этих чисел по тому же основанию. Основание логарифма должно быть положительным и отличным от единицы.
    \( \log_a (bc) = \log_a b + \log_a c \)
    Логарифм частного (дроби)
    Логарифм частного (дроби) двух положительных чисел равен разности логарифмов этих чисел по тому же основанию.
    \( \log_a \frac{b}{c} = \log_a b - \log_a c \)
    Логарифм степени
    Логарифм степени положительного числа равен произведению показателя степени на логарифм ее основания.
    \( \log_a b^r = r \log_a b \)
    Формула перехода к новому основанию
    Логарифм числа b по основанию a равен отношению логарифма числа b по новому основанию p к логарифму числа a по новому основанию p. Обычно используется для преобразований и вычислений.
    \( \log_a b = \frac{\log_p b}{\log_p a} \)
    Логарифм по основанию, являющемуся степенью
    Свойство, позволяющее выносить показатель степени основания логарифма как множитель, обратный показателю.
    \( \log_{a^p} b = \frac{1}{p} \log_a b \)

    Задали создать проект?

    Создай с помощью ИИ за 5 минут

    До 90% уникальность
    Готовый файл Word
    15-30 страниц
    Список источников по ГОСТ
    Оформление по ГОСТ
    Таблицы и схемы

    Другие упражнения из параграфа § 16

    290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300
    Уведомление об авторском праве и цитировании

    ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

    Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

    В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.