Главная / Учебники / Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы / § 16 / Задание 296
| Глава: | Глава 4 |
|---|---|
| Параграф: | § 16 - Свойства логарифмов |
| Учебник: | Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы - |
| Автор: | Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна |
| Год: | 2025 |
| Издание: |
Шаг 1: Упростим числитель. Внесем коэффициент под логарифм: \( \frac{1}{2} \log_2 72 = \log_2 72^{\frac{1}{2}} = \log_2 \sqrt{72} \). Применим формулу логарифма частного.
Числитель: \( \log_2 24 - \log_2 \sqrt{72} = \log_2 \frac{24}{\sqrt{72}} \)
Рационализируем знаменатель под логарифмом: \( \frac{24}{\sqrt{72}} = \frac{24}{\sqrt{36 \cdot 2}} = \frac{24}{6\sqrt{2}} = \frac{4}{\sqrt{2}} = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2} \)
Числитель: \( \log_2 (2\sqrt{2}) = \log_2 (2 \cdot 2^{\frac{1}{2}}) = \log_2 2^{\frac{3}{2}} = \frac{3}{2} \)
Шаг 2: Упростим знаменатель. Внесем коэффициент под логарифм: \( \frac{1}{3} \log_3 72 = \log_3 72^{\frac{1}{3}} = \log_3 \sqrt[3]{72} \). Применим формулу логарифма частного.
Знаменатель: \( \log_3 18 - \log_3 \sqrt[3]{72} = \log_3 \frac{18}{\sqrt[3]{72}} \)
Разложим числа на множители: \( 18 = 2 \cdot 3^2 \), \( 72 = 8 \cdot 9 = 2^3 \cdot 3^2 \).
Знаменатель: \( \log_3 \frac{18}{\sqrt[3]{2^3 \cdot 3^2}} = \log_3 \frac{18}{2 \cdot 3^{\frac{2}{3}}} = \log_3 \frac{9}{3^{\frac{2}{3}}} = \log_3 \frac{3^2}{3^{\frac{2}{3}}} = \log_3 3^{2 - \frac{2}{3}} = \log_3 3^{\frac{4}{3}} = \frac{4}{3} \)
Шаг 3: Вычислим дробь.
\( \frac{\frac{3}{2}}{\frac{4}{3}} = \frac{3}{2} \cdot \frac{3}{4} = \frac{9}{8} \)
Ответ: \( \frac{9}{8} \)
Шаг 1: Упростим числитель. Внесем коэффициент под логарифм: \( \frac{1}{2} \log_{14} 56 = \log_{14} \sqrt{56} \). В логарифме \( \log_{14} \) пропущен аргумент. Предположим, что должно быть \( \log_{14} 2 \) (чтобы упростилось).
Предположение: Числитель: \( \log_{14} 2 - \frac{1}{2} \log_{14} 56 = \log_{14} 2 - \log_{14} \sqrt{56} = \log_{14} \frac{2}{\sqrt{56}} = \log_{14} \frac{2}{\sqrt{4 \cdot 14}} = \log_{14} \frac{2}{2\sqrt{14}} = \log_{14} \frac{1}{\sqrt{14}} = \log_{14} 14^{-\frac{1}{2}} = -\frac{1}{2} \)
Шаг 2: Упростим знаменатель. Внесем коэффициент под логарифм: \( \frac{1}{2} \log_6 150 = \log_6 \sqrt{150} \). Применим формулу логарифма частного.
Знаменатель: \( \log_6 30 - \log_6 \sqrt{150} = \log_6 \frac{30}{\sqrt{150}} \)
Рационализируем знаменатель под логарифмом: \( \frac{30}{\sqrt{150}} = \frac{30}{\sqrt{25 \cdot 6}} = \frac{30}{5\sqrt{6}} = \frac{6}{\sqrt{6}} = \sqrt{6} \)
Знаменатель: \( \log_6 \sqrt{6} = \log_6 6^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2} \)
Шаг 3: Вычислим дробь (используя предположение из Шага 1).
\( \frac{-\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}} = -1 \)
Ответ: \( -1 \) (с учетом предположения о пропущенном аргументе в числителе: \( \log_{14} 2 \)).
Шаг 1: Упростим числитель, используя формулу логарифма произведения.
Числитель: \( \log_2 4 + \log_2 \sqrt{10} = \log_2 (4 \cdot \sqrt{10}) \)
Шаг 2: Упростим знаменатель, используя формулу логарифма произведения.
Знаменатель: \( \log_2 20 + \log_2 2 \sqrt{2} = \log_2 (20 \cdot 2 \sqrt{2}) = \log_2 (40 \sqrt{2}) \)
Шаг 3: Применим формулу перехода к новому основанию в обратную сторону: \( \frac{\log_p b}{\log_p a} = \log_a b \).
\( \frac{\log_2 (4 \sqrt{10})}{\log_2 (40 \sqrt{2})} = \log_{40 \sqrt{2}} (4 \sqrt{10}) \)
Шаг 4: Представим аргументы в виде степеней числа 2.
Основание: \( 40 \sqrt{2} = 8 \cdot 5 \cdot 2^{\frac{1}{2}} = 2^3 \cdot 5 \cdot 2^{\frac{1}{2}} = 2^{3.5} \cdot 5 \)
Аргумент: \( 4 \sqrt{10} = 2^2 \cdot \sqrt{2 \cdot 5} = 2^2 \cdot 2^{\frac{1}{2}} \cdot 5^{\frac{1}{2}} = 2^{2.5} \cdot 5^{\frac{1}{2}} \)
Выражение не упрощается. Проверим, нет ли опечатки в условии, предполагая, что выражение должно упроститься до целого числа или простой дроби, как в предыдущих заданиях.
Если в числителе \( \log_2 4 \cdot \sqrt{10} = \log_2 \sqrt{160} \), а в знаменателе \( \log_2 40 \sqrt{2} = \log_2 \sqrt{3200} \).
\( \frac{\log_2 \sqrt{160}}{\log_2 \sqrt{3200}} = \frac{\frac{1}{2} \log_2 160}{\frac{1}{2} \log_2 3200} = \log_{3200} 160 \)
\( 3200 = 20 \cdot 160 \). \( \log_{3200} 160 = \log_{20 \cdot 160} 160 \). Не упрощается.
Возвращаемся к исходному условию. Ответ остается в виде логарифма, так как нет оснований для дальнейшего упрощения.
Ответ: \( \log_{40 \sqrt{2}} (4 \sqrt{10}) \)
Шаг 1: Упростим числитель. Внесем коэффициент под логарифм: \( \frac{1}{3} \log_4 27 = \log_4 27^{\frac{1}{3}} = \log_4 \sqrt[3]{27} = \log_4 3 \). Применим формулу логарифма произведения.
Числитель: \( \log_4 2 + \log_4 3 = \log_4 (2 \cdot 3) = \log_4 6 \)
Шаг 2: Упростим знаменатель. Преобразуем слагаемые: \( 4 \log_4 2 = \log_4 2^4 = \log_4 16 \). Внесем коэффициент под логарифм: \( \frac{1}{2} \log_4 64 = \log_4 \sqrt{64} = \log_4 8 \). Применим формулу логарифма произведения.
Знаменатель: \( \log_4 16 + \log_4 8 = \log_4 (16 \cdot 8) = \log_4 128 \)
Шаг 3: Применим формулу перехода к новому основанию в обратную сторону.
\( \frac{\log_4 6}{\log_4 128} = \log_{128} 6 \)
Шаг 4 (Проверка условия в учебнике): Если в знаменателе \( \frac{1}{2} \log_4 64 \) заменить на \( \log_4 64^{\frac{1}{2}} = \log_4 8 \) (как уже сделано), то, возможно, в условии опечатка, и должно быть \( \log_4 2 + \frac{1}{3} \log_4 27 = \log_4 6 \), а в знаменателе \( \log_4 12 + \frac{1}{2} \log_4 36 = \log_4 12 + \log_4 6 = \log_4 72 \). Тогда \( \log_{72} 6 \). В исходном: \( \log_{128} 6 \).
Представим основание \( 128 \) и аргумент \( 6 \) как степени двойки (только для проверки): \( 128 = 2^7 \). \( \log_{2^7} 6 = \frac{1}{7} \log_2 6 \).
Возвращаемся к исходному условию. Ответ остается в виде логарифма, так как нет оснований для дальнейшего упрощения.
Ответ: \( \log_{128} 6 \)
Задали создать проект?
Создай с помощью ИИ за 5 минут
ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.
Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).
В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.
