Главная / Учебники / Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы / § 16 / Задание 294
| Глава: | Глава 4 |
|---|---|
| Параграф: | § 16 - Свойства логарифмов |
| Учебник: | Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы - |
| Автор: | Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна |
| Год: | 2025 |
| Издание: |
Шаг 1: Применим формулу перехода к новому основанию в обратную сторону: \( \frac{\log_p b}{\log_p a} = \log_a b \). Здесь \( p = 3 \), \( a = 16 \), \( b = 8 \).
\( \frac{\log_3 8}{\log_3 16} = \log_{16} 8 \)
Шаг 2: Представим основание \( 16 \) и логарифмируемое число \( 8 \) как степени числа \( 2 \): \( 16 = 2^4 \), \( 8 = 2^3 \).
\( \log_{2^4} 2^3 \)
Шаг 3: Используем свойство \( \log_{a^p} b^r = \frac{r}{p} \log_a b \).
\( \frac{3}{4} \log_2 2 = \frac{3}{4} \cdot 1 = \frac{3}{4} \)
Ответ: \( \frac{3}{4} \)
Шаг 1: Применим формулу перехода к новому основанию в обратную сторону: \( \frac{\log_p b}{\log_p a} = \log_a b \). Здесь \( p = 5 \), \( a = 9 \), \( b = 27 \).
\( \frac{\log_5 27}{\log_5 9} = \log_9 27 \)
Шаг 2: Представим основание \( 9 \) и логарифмируемое число \( 27 \) как степени числа \( 3 \): \( 9 = 3^2 \), \( 27 = 3^3 \).
\( \log_{3^2} 3^3 \)
Шаг 3: Используем свойство \( \log_{a^p} b^r = \frac{r}{p} \log_a b \).
\( \frac{3}{2} \log_3 3 = \frac{3}{2} \cdot 1 = \frac{3}{2} \)
Ответ: \( \frac{3}{2} \)
Шаг 1: Упростим числитель, используя формулу логарифма частного: \( \log_a b - \log_a c = \log_a \frac{b}{c} \).
Числитель: \( \log_9 36 - \log_9 5 = \log_9 \frac{36}{5} \)
Шаг 2: Упростим знаменатель, используя формулу логарифма частного.
Знаменатель: \( \log_9 12 - \log_9 5 = \log_9 \frac{12}{5} \)
Дробь примет вид:
\( \frac{\log_9 \frac{36}{5}}{\log_9 \frac{12}{5}} \)
Шаг 3: Применим формулу перехода к новому основанию в обратную сторону: \( \frac{\log_p b}{\log_p a} = \log_a b \). Здесь \( p = 9 \), \( a = \frac{12}{5} \), \( b = \frac{36}{5} \).
\( \log_{\frac{12}{5}} \frac{36}{5} \)
Шаг 4 (Проверка условия в учебнике): Вероятно, в условии опечатка, и должно быть \( \frac{\log_9 36 - \log_9 12}{\log_9 5 - \log_9 5} \), или другой набор чисел, приводящий к целому числу. Если предположить, что в знаменателе должно быть \( \log_9 12 - \log_9 4 = \log_9 3 \), тогда ответ будет другим.
Предположим, что в числителе \( \log_9 36 - \log_9 12 = \log_9 3 \), а в знаменателе \( \log_9 12 - \log_9 4 = \log_9 3 \). Тогда \( \frac{\log_9 3}{\log_9 3} = 1 \). Но это догадка.
Возвращаемся к исходному условию. Выражение не упрощается до целого числа или простой дроби.
\( \log_{\frac{12}{5}} \frac{36}{5} \)
Ответ: \( \log_{\frac{12}{5}} \frac{36}{5} \)
Шаг 1: Упростим знаменатель, используя формулу логарифма частного: \( \log_a b - \log_a c = \log_a \frac{b}{c} \).
Знаменатель: \( \log_7 15 - \log_7 30 = \log_7 \frac{15}{30} = \log_7 \frac{1}{2} \)
Дробь примет вид:
\( \frac{\log_7 8}{\log_7 \frac{1}{2}} \)
Шаг 2: Применим формулу перехода к новому основанию в обратную сторону: \( \frac{\log_p b}{\log_p a} = \log_a b \). Здесь \( p = 7 \), \( a = \frac{1}{2} \), \( b = 8 \).
\( \log_{\frac{1}{2}} 8 \)
Шаг 3: Представим основание \( \frac{1}{2} \) и логарифмируемое число \( 8 \) как степени числа \( 2 \): \( \frac{1}{2} = 2^{-1} \), \( 8 = 2^3 \).
\( \log_{2^{-1}} 2^3 \)
Шаг 4: Используем свойство \( \log_{a^p} b^r = \frac{r}{p} \log_a b \).
\( \frac{3}{-1} \log_2 2 = -3 \cdot 1 = -3 \)
Ответ: \( -3 \)
Задали создать проект?
Создай с помощью ИИ за 5 минут
ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.
Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).
В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.
