Главная / Учебники / Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы / § 16 / Задание 292
| Глава: | Глава 4 |
|---|---|
| Параграф: | § 16 - Свойства логарифмов |
| Учебник: | Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы - |
| Автор: | Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна |
| Год: | 2025 |
| Издание: |
Шаг 1: Представим основание и логарифмируемое число в виде степеней: \( \frac{1}{3} = 3^{-1} \), \( 169 = 13^2 \). Выражение примет вид:
\( \log_{3^{-1}} \sqrt[4]{13^2} = \log_{3^{-1}} 13^{\frac{2}{4}} = \log_{3^{-1}} 13^{\frac{1}{2}} \)
Шаг 2: Применим свойство: \( \log_{a^p} b^r = \frac{r}{p} \log_a b \). Здесь \( a = 3 \), \( p = -1 \), \( b = 13 \), \( r = \frac{1}{2} \).
\( \log_{3^{-1}} 13^{\frac{1}{2}} = \frac{\frac{1}{2}}{-1} \log_3 13 = -\frac{1}{2} \log_3 13 \)
Шаг 3 (Проверка условия в учебнике): В условии, вероятно, опечатка, и должно быть \( \sqrt[4]{81} \), \( \sqrt[4]{9} \), или \( 169 \) должно быть степенью \( 3 \), либо основание должно быть \( 13 \). Если считать, что условие должно быть вычислимым, как целое число, предположим, что должно быть \( \log_{\frac{1}{3}} \sqrt[4]{\frac{1}{9}} \).
Если условие \( \log_{\frac{1}{3}} \sqrt[4]{9} \):
\( \log_{3^{-1}} 9^{\frac{1}{4}} = \log_{3^{-1}} (3^2)^{\frac{1}{4}} = \log_{3^{-1}} 3^{\frac{2}{4}} = \log_{3^{-1}} 3^{\frac{1}{2}} \)
\( = \frac{\frac{1}{2}}{-1} \log_3 3 = -\frac{1}{2} \cdot 1 = -\frac{1}{2} \)
Возвращаемся к исходному условию, так как задача 292 (1) не вычислима без калькулятора.
Условие: \( \log_{\frac{1}{3}} \sqrt[4]{169} \)
Ответ в развернутом виде: \( -\frac{1}{2} \log_3 13 \)
Ответ: \( -\frac{1}{2} \log_3 13 \) (Поскольку ожидается числовой ответ, возможно, была опечатка в оригинальном учебнике, и его следует оставить в таком виде.)
Шаг 1: Представим логарифмируемое число \( \frac{1}{121} \) как степень основания \( 11 \). \( 121 = 11^2 \), следовательно, \( \frac{1}{121} = 11^{-2} \).
\( \log_{11} \frac{1}{121} = \log_{11} 11^{-2} \)
Шаг 2: Используем свойство логарифма степени: \( \log_a b^r = r \log_a b \) и \( \log_a a = 1 \).
\( -2 \log_{11} 11 = -2 \cdot 1 = -2 \)
Ответ: \( -2 \)
Шаг 1: Представим логарифмируемое число \( \sqrt[4]{243} \) как степень основания \( 3 \). \( 243 = 3^5 \).
\( \sqrt[4]{243} = 243^{\frac{1}{4}} = (3^5)^{\frac{1}{4}} = 3^{\frac{5}{4}} \)
Выражение примет вид: \( \log_3 3^{\frac{5}{4}} \)
Шаг 2: Используем свойство логарифма степени: \( \log_a b^r = r \log_a b \) и \( \log_a a = 1 \).
\( \frac{5}{4} \log_3 3 = \frac{5}{4} \cdot 1 = \frac{5}{4} \)
Ответ: \( \frac{5}{4} \)
Шаг 1: Представим логарифмируемое число \( \frac{1}{\sqrt[7]{128}} \) как степень основания \( 2 \). \( 128 = 2^7 \).
\( \sqrt[7]{128} = \sqrt[7]{2^7} = 2 \)
\( \frac{1}{\sqrt[7]{128}} = \frac{1}{2} = 2^{-1} \)
Выражение примет вид: \( \log_2 2^{-1} \)
Шаг 2: Используем свойство логарифма степени: \( \log_a b^r = r \log_a b \) и \( \log_a a = 1 \).
\( -1 \log_2 2 = -1 \cdot 1 = -1 \)
Ответ: \( -1 \)
Задали создать проект?
Создай с помощью ИИ за 5 минут
ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.
Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).
В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.
