Главная / Учебники / Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы / § 16 / Задание 293
| Глава: | Глава 4 |
|---|---|
| Параграф: | § 16 - Свойства логарифмов |
| Учебник: | Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы - |
| Автор: | Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна |
| Год: | 2025 |
| Издание: |
Шаг 1: Объединим первые два логарифма по формуле логарифма частного: \( \log_a b - \log_a c = \log_a \frac{b}{c} \).
\( (\log_8 12 - \log_8 15) + \log_8 20 = \log_8 \left( \frac{12}{15} \right) + \log_8 20 \)
Шаг 2: Сократим дробь \( \frac{12}{15} = \frac{4}{5} \).
\( \log_8 \frac{4}{5} + \log_8 20 \)
Шаг 3: Применим формулу логарифма произведения: \( \log_a b + \log_a c = \log_a (bc) \).
\( \log_8 \left( \frac{4}{5} \cdot 20 \right) \)
Шаг 4: Выполним умножение: \( \frac{4}{5} \cdot 20 = 4 \cdot 4 = 16 \).
\( \log_8 16 \)
Шаг 5: Представим основание \( 8 \) и логарифмируемое число \( 16 \) как степени числа \( 2 \): \( 8 = 2^3 \), \( 16 = 2^4 \). Воспользуемся свойством \( \log_{a^p} b^r = \frac{r}{p} \log_a b \) с \( a = 2 \), \( p = 3 \), \( b = 2 \), \( r = 4 \).
\( \log_{2^3} 2^4 = \frac{4}{3} \log_2 2 = \frac{4}{3} \cdot 1 = \frac{4}{3} \)
Ответ: \( \frac{4}{3} \)
Шаг 1: Объединим первые два логарифма по формуле логарифма произведения: \( \log_a b + \log_a c = \log_a (bc) \).
\( (\log_9 15 + \log_9 18) - \log_9 10 = \log_9 (15 \cdot 18) - \log_9 10 \)
Шаг 2: Выполним умножение \( 15 \cdot 18 = 270 \).
\( \log_9 270 - \log_9 10 \)
Шаг 3: Применим формулу логарифма частного: \( \log_a b - \log_a c = \log_a \frac{b}{c} \).
\( \log_9 \left( \frac{270}{10} \right) = \log_9 27 \)
Шаг 4: Представим основание \( 9 \) и логарифмируемое число \( 27 \) как степени числа \( 3 \): \( 9 = 3^2 \), \( 27 = 3^3 \). Воспользуемся свойством \( \log_{a^p} b^r = \frac{r}{p} \log_a b \) с \( a = 3 \), \( p = 2 \), \( b = 3 \), \( r = 3 \).
\( \log_{3^2} 3^3 = \frac{3}{2} \log_3 3 = \frac{3}{2} \cdot 1 = \frac{3}{2} \)
Ответ: \( \frac{3}{2} \)
Шаг 1: Преобразуем третье слагаемое, используя свойство логарифма степени \( r \log_a b = \log_a b^r \).
\( 3 \log_7 \frac{\sqrt[3]{21}}{2} = \log_7 \left( \frac{\sqrt[3]{21}}{2} \right)^3 = \log_7 \frac{(\sqrt[3]{21})^3}{2^3} = \log_7 \frac{21}{8} \)
Исходное выражение примет вид:
\( \log_7 36 - \log_7 14 - \log_7 \frac{21}{8} \)
Шаг 2: Объединим все логарифмы по формулам логарифма частного: \( \log_a b - \log_a c - \log_a d = \log_a \frac{b}{c \cdot d} \).
\( \log_7 \left( \frac{36}{14 \cdot \frac{21}{8}} \right) \)
Шаг 3: Выполним умножение и деление внутри скобок.
Знаменатель: \( 14 \cdot \frac{21}{8} = \frac{14 \cdot 21}{8} = \frac{7 \cdot 21}{4} = \frac{147}{4} \)
Дробь: \( \frac{36}{\frac{147}{4}} = 36 \cdot \frac{4}{147} = \frac{144}{147} \)
Шаг 4: Упростим дробь \( \frac{144}{147} \). Обе части делятся на \( 3 \): \( 144 / 3 = 48 \), \( 147 / 3 = 49 \).
\( \log_7 \frac{48}{49} \)
Шаг 5: Применим формулу логарифма частного, так как \( 49 = 7^2 \).
\( \log_7 48 - \log_7 49 = \log_7 48 - \log_7 7^2 = \log_7 48 - 2 \log_7 7 = \log_7 48 - 2 \)
Ответ: \( \log_7 48 - 2 \)
Шаг 1: Преобразуем каждое слагаемое, используя свойство логарифма степени \( r \log_a b = \log_a b^r \).
Первое слагаемое: \( 2 \log_6 \frac{1}{2} = \log_6 \left( \frac{1}{2} \right)^2 = \log_6 \frac{1}{4} \)
Второе слагаемое: \( \frac{1}{2} \log_6 400 = \log_6 400^{\frac{1}{2}} = \log_6 \sqrt{400} = \log_6 20 \)
Третье слагаемое: \( 3 \log_6 \sqrt[3]{45} = \log_6 (45^{\frac{1}{3}})^3 = \log_6 45 \)
Исходное выражение примет вид:
\( \log_6 \frac{1}{4} + \log_6 20 + \log_6 45 \)
Шаг 2: Объединим все логарифмы по формуле логарифма произведения: \( \log_a b + \log_a c + \log_a d = \log_a (bcd) \).
\( \log_6 \left( \frac{1}{4} \cdot 20 \cdot 45 \right) \)
Шаг 3: Выполним умножение внутри скобок.
\( \frac{1}{4} \cdot 20 \cdot 45 = (\frac{20}{4}) \cdot 45 = 5 \cdot 45 = 225 \)
\( \log_6 225 \)
Шаг 4 (Проверка условия в учебнике): Если условие должно привести к целому числу, возможно, в третьем слагаемом \( 45 \) должно быть другим числом, например, \( \sqrt[3]{3} \). Если считать, что условие должно быть вычислимым, как целое число, предположим, что должно быть \( 3 \log_6 \sqrt[3]{3} \).
Если условие \( 3 \log_6 \sqrt[3]{3} \) (вместо \( 45 \)): \( 3 \log_6 3^{\frac{1}{3}} = 3 \cdot \frac{1}{3} \log_6 3 = \log_6 3 \)
Тогда выражение \( \log_6 \frac{1}{4} + \log_6 20 + \log_6 3 = \log_6 \left( \frac{1}{4} \cdot 20 \cdot 3 \right) = \log_6 15 \). Тоже не целое.
Возвращаемся к исходному условию.
\( \log_6 225 \)
Ответ: \( \log_6 225 \) (Так как \( 225 = 15^2 \) и не является степенью \( 6 \), ответ остается в виде логарифма.)
Задали создать проект?
Создай с помощью ИИ за 5 минут
ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.
Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).
В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.
