Главная / Учебники / Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы / § 16 / Задание 298
| Глава: | Глава 4 |
|---|---|
| Параграф: | § 16 - Свойства логарифмов |
| Учебник: | Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы - |
| Автор: | Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна |
| Год: | 2025 |
| Издание: |
Шаг 1: Преобразуем первое слагаемое \( 36^{\log_6 5} \). Представим основание \( 36 \) как степень \( 6 \): \( 36 = 6^2 \).
\( 36^{\log_6 5} = (6^2)^{\log_6 5} = 6^{2 \log_6 5} \)
Используем свойство логарифма степени: \( r \log_a b = \log_a b^r \): \( 6^{\log_6 5^2} = 6^{\log_6 25} \)
Используем основное логарифмическое тождество: \( a^{\log_a b} = b \). Получим: \( 25 \)
Шаг 2: Преобразуем второе слагаемое \( 10^{1 - \log_{10} 2} \). Используем свойство степеней: \( a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n} \).
\( 10^{1 - \log_{10} 2} = \frac{10^1}{10^{\log_{10} 2}} \)
Используем основное логарифмическое тождество: \( 10^{\log_{10} 2} = 2 \).
\( \frac{10}{2} = 5 \)
Шаг 3: Преобразуем третье слагаемое \( 8^{\log_2 3} \). Представим основание \( 8 \) как степень \( 2 \): \( 8 = 2^3 \).
\( 8^{\log_2 3} = (2^3)^{\log_2 3} = 2^{3 \log_2 3} \)
Используем свойство логарифма степени: \( 2^{\log_2 3^3} = 2^{\log_2 27} \)
Используем основное логарифмическое тождество: \( 27 \)
Шаг 4: Выполним вычитание.
\( 25 + 5 - 27 = 3 \)
Ответ: \( 3 \)
Шаг 1: Преобразуем первое слагаемое в скобках \( 81^{\frac{1}{4} - \frac{1}{2} \log_9 4} \). Используем свойство степеней: \( a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n} \). \( 81 = 9^2 \).
\( 81^{\frac{1}{4} - \frac{1}{2} \log_9 4} = 81^{\frac{1}{4}} \cdot 81^{-\frac{1}{2} \log_9 4} = 81^{\frac{1}{4}} \cdot \frac{1}{81^{\frac{1}{2} \log_9 4}} \)
\( 81^{\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{81} = 3 \)
Знаменатель: \( 81^{\frac{1}{2} \log_9 4} = (9^2)^{\frac{1}{2} \log_9 4} = 9^{\log_9 4} = 4 \) (последовательно применили \( (a^p)^r = a^{pr} \) и \( a^{\log_a b} = b \)).
Первое слагаемое: \( 3 \cdot \frac{1}{4} = \frac{3}{4} \)
Шаг 2: Преобразуем второе слагаемое в скобках \( 25^{\log_{125} 8} \). Представим основания как степени \( 5 \): \( 25 = 5^2 \), \( 125 = 5^3 \).
\( 25^{\log_{125} 8} = (5^2)^{\log_{5^3} 8} = 5^{2 \log_{5^3} 8} \)
Используем свойство \( \log_{a^p} b = \frac{1}{p} \log_a b \): \( 5^{2 \cdot \frac{1}{3} \log_5 8} = 5^{\frac{2}{3} \log_5 8} \)
Используем свойство логарифма степени: \( 5^{\log_5 8^{\frac{2}{3}}} \). Применим основное логарифмическое тождество.
\( 8^{\frac{2}{3}} = (\sqrt[3]{8})^2 = 2^2 = 4 \)
Второе слагаемое: \( 4 \)
Шаг 3: Преобразуем множитель вне скобок \( 49^{\log_7 2} \). Представим основание \( 49 \) как степень \( 7 \): \( 49 = 7^2 \).
\( 49^{\log_7 2} = (7^2)^{\log_7 2} = 7^{2 \log_7 2} = 7^{\log_7 2^2} = 7^{\log_7 4} = 4 \)
Шаг 4: Выполним вычисления.
\( \left( \frac{3}{4} + 4 \right) \cdot 4 = \left( \frac{3}{4} + \frac{16}{4} \right) \cdot 4 = \frac{19}{4} \cdot 4 = 19 \)
Ответ: \( 19 \)
Шаг 1: Преобразуем первое слагаемое \( 16^{1 + \frac{1}{\log_4 5}} \). Используем формулу \( \frac{1}{\log_a b} = \log_b a \).
\( 1 + \frac{1}{\log_4 5} = 1 + \log_5 4 \)
Используем свойство степеней: \( 16^{1 + \log_5 4} = 16^1 \cdot 16^{\log_5 4} = 16 \cdot 16^{\log_5 4} \)
Выражение не упрощается. Проверим, возможно, в исходном условии была опечатка и должно быть \( 1 + \frac{1}{\log_{16} 5} \).
Если \( 16^{1 + \frac{1}{\log_{16} 5}} = 16^{1 + \log_5 16} = 16 \cdot 16^{\log_5 16} \). Не упрощается.
Предположим, что основание логарифма \( \log_4 5 \) должно быть \( \log_{16} 5 \): \( 16^{1 + \frac{1}{\log_{16} 5}} = 16^{1 + \log_5 16} = 16 \cdot 16^{\log_5 16} \). Не упрощается.
Предположим, что основание логарифма \( \log_4 5 \) должно быть \( \log_4 16 \): \( 16^{1 + \frac{1}{\log_4 16}} = 16^{1 + \frac{1}{2}} = 16^{1.5} = 4^3 = 64 \).
Возвращаемся к исходному условию. В первом слагаемом, вероятно, опечатка, которая не позволяет упростить выражение до целого числа. Однако, если предположить, что \( \frac{1}{\log_4 5} \) должно быть \( \log_5 4 \), и основание \( 16 \) должно быть \( 5 \).
Продолжаем с исходным: \( 16 \cdot 16^{\log_5 4} \)
Шаг 2: Преобразуем второе слагаемое \( 4^{2 \log_{16} 3 + 3 \log_8 5} \). Используем свойство степеней: \( a^{m+n} = a^m \cdot a^n \).
\( 4^{2 \log_{16} 3 + 3 \log_8 5} = 4^{2 \log_{16} 3} \cdot 4^{3 \log_8 5} \)
Первый множитель: \( 4^{2 \log_{16} 3} = (16^{\frac{1}{2}})^{2 \log_{16} 3} = 16^{\log_{16} 3} = 3 \)
Второй множитель: \( 4^{3 \log_8 5} = (8^{\frac{2}{3}})^{3 \log_8 5} = 8^{2 \log_8 5} = 8^{\log_8 5^2} = 8^{\log_8 25} = 25 \)
Второе слагаемое: \( 3 \cdot 25 = 75 \)
Шаг 3: Сложим слагаемые (с учетом не упрощенного первого слагаемого).
\( 16 \cdot 16^{\log_5 4} + 75 \)
Ответ: \( 16 \cdot 16^{\log_5 4} + 75 \)
Шаг 1: Преобразуем первое слагаемое \( 72^{\frac{1}{\log_9 7}} \). Используем формулу \( \frac{1}{\log_a b} = \log_b a \).
\( 72^{\log_7 9} \)
Представим \( 72 \) как \( 9 \cdot 8 \): \( (9 \cdot 8)^{\log_7 9} \). Не упрощается.
Шаг 2: Преобразуем второе слагаемое \( 49^{\log_7 9 - \log_7 6} \). Используем свойство логарифма частного: \( \log_7 9 - \log_7 6 = \log_7 \frac{9}{6} = \log_7 \frac{3}{2} \).
\( 49^{\log_7 \frac{3}{2}} = (7^2)^{\log_7 \frac{3}{2}} = 7^{2 \log_7 \frac{3}{2}} = 7^{\log_7 (\frac{3}{2})^2} = 7^{\log_7 \frac{9}{4}} \)
Используем основное логарифмическое тождество: \( \frac{9}{4} \)
Шаг 3: Преобразуем третье слагаемое \( 5^{-\log_{\sqrt{5}} 4} \). Представим основание \( \sqrt{5} \) как \( 5^{\frac{1}{2}} \).
\( 5^{-\log_{5^{\frac{1}{2}}} 4} \)
Используем свойство \( \log_{a^p} b = \frac{1}{p} \log_a b \): \( 5^{-\frac{1}{\frac{1}{2}} \log_5 4} = 5^{-2 \log_5 4} \)
Используем свойство логарифма степени: \( 5^{\log_5 4^{-2}} = 5^{\log_5 \frac{1}{16}} \)
Используем основное логарифмическое тождество: \( \frac{1}{16} \)
Шаг 4: Выполним вычисления (с учетом, что первое слагаемое не упрощается). Проверим, нет ли опечатки в первом слагаемом. Если \( 72^{\frac{1}{\log_9 7}} = 72^{\log_7 9} \), то \( 72^{\log_7 9} - \frac{9}{4} + \frac{1}{16} \).
Предположение: Если в первом слагаемом \( 72 \) должно быть \( 49 \) и \( \log_7 9 \), то \( 49^{\log_7 9} = 81 \).
Если \( 72^{\log_7 9} \) должно быть \( 7^{\log_7 9} = 9 \). Тогда: \( 9 - \frac{9}{4} + \frac{1}{16} \)
\( 9 - 2.25 + 0.0625 = 6.8125 \). (Не целое.)
Возвращаемся к исходному: \( 72^{\log_7 9} - \frac{9}{4} + \frac{1}{16} \)
Вероятно, должно быть \( 72^{\log_7 7} = 72 \), но это будет только при \( \frac{1}{\log_9 7} = 1 \), что неверно.
Ответ: \( 72^{\log_7 9} - \frac{35}{16} \) (Из-за первого слагаемого)
Задали создать проект?
Создай с помощью ИИ за 5 минут
ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.
Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).
В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.
