Нейросеть

Главная / Учебники / Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы / § 16 / Задание 291

ГДЗ: Упражнение 291 - § 16 (Свойства логарифмов) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Страницы: 94, 95, 96
Глава: Глава 4
Параграф: § 16 - Свойства логарифмов
Учебник: Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы -
Автор: Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год: 2025
Издание:

291 упражнение:

Вычислить:

1) \( \log_2 15 - \log_2 \frac{15}{16} \)

Шаг 1: Применим формулу логарифма частного: \( \log_a b - \log_a c = \log_a \frac{b}{c} \). Здесь \( a = 2 \), \( b = 15 \), \( c = \frac{15}{16} \).

  • \( \log_2 15 - \log_2 \frac{15}{16} = \log_2 \left( \frac{15}{\frac{15}{16}} \right) \)

    • Шаг 2: Упростим дробь, заменив деление умножением на обратную дробь.

  • \( \log_2 \left( 15 \cdot \frac{16}{15} \right) = \log_2 16 \)

    • Шаг 3: Представим \( 16 \) как степень основания \( 2 \): \( 16 = 2^4 \).

  • \( \log_2 2^4 \)

    • Шаг 4: Используем свойство логарифма степени и \( \log_a a = 1 \).

  • \( 4 \log_2 2 = 4 \cdot 1 = 4 \)

    • Ответ: \( 4 \)

    2) \( \log_5 75 - \log_5 3 \)

    Шаг 1: Применим формулу логарифма частного: \( \log_a b - \log_a c = \log_a \frac{b}{c} \). Здесь \( a = 5 \), \( b = 75 \), \( c = 3 \).

  • \( \log_5 75 - \log_5 3 = \log_5 \left( \frac{75}{3} \right) \)

    • Шаг 2: Выполним деление.

  • \( \log_5 25 \)

    • Шаг 3: Представим \( 25 \) как степень основания \( 5 \): \( 25 = 5^2 \).

  • \( \log_5 5^2 \)

    • Шаг 4: Используем свойство логарифма степени и \( \log_a a = 1 \).

  • \( 2 \log_5 5 = 2 \cdot 1 = 2 \)

    • Ответ: \( 2 \)

    3) \( \log_3 54 - \log_3 2 \)

    Шаг 1: Применим формулу логарифма частного: \( \log_a b - \log_a c = \log_a \frac{b}{c} \). Здесь \( a = 3 \), \( b = 54 \), \( c = 2 \).

  • \( \log_3 54 - \log_3 2 = \log_3 \left( \frac{54}{2} \right) \)

    • Шаг 2: Выполним деление.

  • \( \log_3 27 \)

    • Шаг 3: Представим \( 27 \) как степень основания \( 3 \): \( 27 = 3^3 \).

  • \( \log_3 3^3 \)

    • Шаг 4: Используем свойство логарифма степени и \( \log_a a = 1 \).

  • \( 3 \log_3 3 = 3 \cdot 1 = 3 \)

    • Ответ: \( 3 \)

    4) \( \log_8 \frac{1}{16} - \log_8 32 \)

    Шаг 1: Применим формулу логарифма частного: \( \log_a b - \log_a c = \log_a \frac{b}{c} \). Здесь \( a = 8 \), \( b = \frac{1}{16} \), \( c = 32 \).

  • \( \log_8 \frac{1}{16} - \log_8 32 = \log_8 \left( \frac{\frac{1}{16}}{32} \right) \)

    • Шаг 2: Упростим дробь.

  • \( \log_8 \left( \frac{1}{16 \cdot 32} \right) = \log_8 \left( \frac{1}{512} \right) \)

    • Шаг 3: Представим основание \( 8 \) и аргумент \( \frac{1}{512} \) как степени числа \( 2 \): \( 8 = 2^3 \), \( 512 = 2^9 \), а \( \frac{1}{512} = 2^{-9} \). Перейдем к основанию \( 2 \) с помощью формулы \( \log_{a} b = \frac{\log_p b}{\log_p a} \), или используем то, что \( 512 = 8^3 \), следовательно, \( \frac{1}{512} = 8^{-3} \).

  • Используем, что \( 512 = 8^3 \):

  • \( \log_8 \left( \frac{1}{8^3} \right) = \log_8 8^{-3} \)

    • Шаг 4: Используем свойство логарифма степени и \( \log_a a = 1 \).

  • \( -3 \log_8 8 = -3 \cdot 1 = -3 \)

    • Ответ: \( -3 \)

    Что применять при решении

    Основное логарифмическое тождество
    Степень, основание которой равно основанию логарифма, а показатель равен логарифму числа по этому основанию, равна самому числу.
    \( a^{\log_a b} = b \)
    Логарифм произведения
    Логарифм произведения двух положительных чисел равен сумме логарифмов этих чисел по тому же основанию. Основание логарифма должно быть положительным и отличным от единицы.
    \( \log_a (bc) = \log_a b + \log_a c \)
    Логарифм частного (дроби)
    Логарифм частного (дроби) двух положительных чисел равен разности логарифмов этих чисел по тому же основанию.
    \( \log_a \frac{b}{c} = \log_a b - \log_a c \)
    Логарифм степени
    Логарифм степени положительного числа равен произведению показателя степени на логарифм ее основания.
    \( \log_a b^r = r \log_a b \)
    Формула перехода к новому основанию
    Логарифм числа b по основанию a равен отношению логарифма числа b по новому основанию p к логарифму числа a по новому основанию p. Обычно используется для преобразований и вычислений.
    \( \log_a b = \frac{\log_p b}{\log_p a} \)
    Логарифм по основанию, являющемуся степенью
    Свойство, позволяющее выносить показатель степени основания логарифма как множитель, обратный показателю.
    \( \log_{a^p} b = \frac{1}{p} \log_a b \)

    Задали создать проект?

    Создай с помощью ИИ за 5 минут

    До 90% уникальность
    Готовый файл Word
    15-30 страниц
    Список источников по ГОСТ
    Оформление по ГОСТ
    Таблицы и схемы

    Другие упражнения из параграфа § 16

    290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300
    Уведомление об авторском праве и цитировании

    ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

    Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

    В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.