Нейросеть

Главная / Учебники / Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы / § 23 / Задание 430

ГДЗ: Упражнение 430 - § 23 (Определение синуса, косинуса и тангенса угла) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Страницы: 126, 130, 131, 132
Глава: Глава 5
Параграф: § 23 - Определение синуса, косинуса и тангенса угла
Учебник: Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы -
Автор: Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год: 2025
Издание:

430 упражнение:

Вычислить:

1) \( \sin \pi + \sin \frac{3\pi}{2} \)

Пояснение: Используем табличные значения синуса для углов \( \pi \) и \( \frac{3\pi}{2} \).

  • Значение \( \sin \pi \) — это ордината точки \( (-1; 0) \) на единичной окружности: \( \sin \pi = 0 \).
  • Значение \( \sin \frac{3\pi}{2} \) — это ордината точки \( (0; -1) \) на единичной окружности: \( \sin \frac{3\pi}{2} = -1 \).
  • Подставляем значения в выражение: \( \sin \pi + \sin \frac{3\pi}{2} = 0 + (-1) = -1 \).

Ответ: \( -1 \)

2) \( \sin (-\frac{\pi}{2}) + \cos \frac{\pi}{2} \)

Пояснение: Используем свойство нечетности синуса \( \sin(-\alpha) = -\sin \alpha \) и табличные значения.

  • \( \sin (-\frac{\pi}{2}) = -\sin \frac{\pi}{2} \).
  • Значение \( \sin \frac{\pi}{2} \) — это ордината точки \( (0; 1) \) на единичной окружности: \( \sin \frac{\pi}{2} = 1 \).
  • Тогда \( \sin (-\frac{\pi}{2}) = -1 \).
  • Значение \( \cos \frac{\pi}{2} \) — это абсцисса точки \( (0; 1) \) на единичной окружности: \( \cos \frac{\pi}{2} = 0 \).
  • Подставляем значения: \( \sin (-\frac{\pi}{2}) + \cos \frac{\pi}{2} = -1 + 0 = -1 \).

Ответ: \( -1 \)

3) \( \sin (\pi - \cos \pi) \)

Пояснение: Сначала вычислим значение \( \cos \pi \), а затем найдем синус полученного аргумента.

  • Значение \( \cos \pi \) — это абсцисса точки \( (-1; 0) \) на единичной окружности: \( \cos \pi = -1 \).
  • Подставляем значение в выражение: \( \sin (\pi - \cos \pi) = \sin (\pi - (-1)) = \sin (\pi + 1) \).
  • Значение \( \sin (\pi + 1) \) не является табличным. Его можно представить как \( -\sin 1 \) по формуле приведения \( \sin(\pi + \alpha) = -\sin \alpha \).

Ответ: \( \sin (\pi + 1) \) или \( -\sin 1 \)

4) \( \sin 0 - \cos 2\pi \)

Пояснение: Используем табличные значения синуса для угла 0 и косинуса для угла \( 2\pi \).

  • Значение \( \sin 0 \) — это ордината точки \( (1; 0) \) на единичной окружности: \( \sin 0 = 0 \).
  • Значение \( \cos 2\pi \) — это абсцисса точки \( (1; 0) \) на единичной окружности: \( \cos 2\pi = 1 \).
  • Подставляем значения в выражение: \( \sin 0 - \cos 2\pi = 0 - 1 = -1 \).

Ответ: \( -1 \)

5) \( \sin \pi + \sin 1,5\pi \)

Пояснение: Угол \( 1,5\pi \) равен \( \frac{3\pi}{2} \). Используем табличные значения.

  • Значение \( \sin \pi = 0 \).
  • Значение \( \sin 1,5\pi = \sin \frac{3\pi}{2} = -1 \).
  • Подставляем значения в выражение: \( \sin \pi + \sin 1,5\pi = 0 + (-1) = -1 \).

Ответ: \( -1 \)

6) \( \sin 0 + \cos 2\pi \)

Пояснение: Используем табличные значения синуса для угла 0 и косинуса для угла \( 2\pi \).

  • Значение \( \sin 0 = 0 \).
  • Значение \( \cos 2\pi = 1 \).
  • Подставляем значения в выражение: \( \sin 0 + \cos 2\pi = 0 + 1 = 1 \).

Ответ: \( 1 \)

Что применять при решении

Определение синуса угла
Синусом угла \( \alpha \) называется ордината точки, полученной поворотом точки \( (1; 0) \) вокруг начала координат на угол \( \alpha \) (обозначается \( \sin \alpha \)).
Для точки \( P_{\alpha} = (x; y) \) на единичной окружности: \( \sin \alpha = y \)
Определение косинуса угла
Косинусом угла \( \alpha \) называется абсцисса точки, полученной поворотом точки \( (1; 0) \) вокруг начала координат на угол \( \alpha \) (обозначается \( \cos \alpha \)).
Для точки \( P_{\alpha} = (x; y) \) на единичной окружности: \( \cos \alpha = x \)
Определение тангенса угла
Тангенсом угла \( \alpha \) называется отношение синуса угла к его косинусу, т.е. \( \tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \).
\( \tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \), при условии, что \( \cos \alpha \ne 0 \)
Основные тригонометрические тождества и формулы приведения
Для вычисления и упрощения выражений используются формулы приведения. Некоторые основные формулы, использованные в решениях:
  • \( \sin (\pi - \alpha) = \sin \alpha \)
  • \( \cos (\pi + \alpha) = -\cos \alpha \)
  • \( \sin (\frac{\pi}{2} - \alpha) = \cos \alpha \)
  • \( \tg (\pi + \alpha) = \tg \alpha \)
  • \( \sin (-\alpha) = -\sin \alpha \)
  • \( \cos (-\alpha) = \cos \alpha \)
  • \( \tg (-\alpha) = -\tg \alpha \)

    • Задали создать проект?

    Создай с помощью ИИ за 5 минут

    До 90% уникальность
    Готовый файл Word
    15-30 страниц
    Список источников по ГОСТ
    Оформление по ГОСТ
    Таблицы и схемы

    Другие упражнения из параграфа § 23

    429 430 431 432 433 434 435 436 437 438 439 440 441
    Уведомление об авторском праве и цитировании

    ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

    Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

    В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.