ГДЗ: Упражнение 437 - § 23 (Определение синуса, косинуса и тангенса угла) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Пояснение: Подставим \( \alpha = \frac{\pi}{4} \) в выражение и используем табличные значения: \( \sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} \) и \( \cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} \).

• Подставляем: \( 2 \cdot \sin \frac{\pi}{4} + \sqrt{2} \cdot \cos \frac{\pi}{4} = 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \).
• Умножаем: \( \sqrt{2} + \frac{2}{2} = \sqrt{2} + 1 \).

Ответ: \( 1 + \sqrt{2} \)

Пояснение: Угол \( 60^{\circ} \) равен \( \frac{\pi}{3} \) радиан. Используем табличные значения: \( \cos 60^{\circ} = \frac{1}{2} = 0,5 \) и \( \sin 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2} \).

• Подставляем: \( 0,5 \cdot \cos 60^{\circ} - \sqrt{3} \cdot \sin 60^{\circ} = 0,5 \cdot \frac{1}{2} - \sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \).
• Умножаем: \( 0,25 - \frac{3}{2} = \frac{1}{4} - \frac{6}{4} = -\frac{5}{4} \).

Ответ: \( -\frac{5}{4} \) или \( -1,25 \)

Пояснение: Подставим \( \alpha = \frac{\pi}{6} \) в аргументы: \( 3\alpha = 3 \cdot \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2} \) и \( 2\alpha = 2 \cdot \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{3} \).

• Выражение примет вид: \( \sin \frac{\pi}{2} - \cos \frac{\pi}{3} \).
• Используем табличные значения: \( \sin \frac{\pi}{2} = 1 \) и \( \cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} \).
• Вычисляем: \( 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \).

Ответ: \( \frac{1}{2} \)

Пояснение: Подставим \( \alpha = \pi \) в аргументы: \( \frac{\alpha}{2} = \frac{\pi}{2} \).

• Выражение примет вид: \( \cos \frac{\pi}{2} + \sin \frac{\pi}{2} \).
• Используем табличные значения: \( \cos \frac{\pi}{2} = 0 \) и \( \sin \frac{\pi}{2} = 1 \).
• Вычисляем: \( 0 + 1 = 1 \).

Ответ: \( 1 \)