Нейросеть

Главная / Учебники / Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы / § 23 / Задание 434

ГДЗ: Упражнение 434 - § 23 (Определение синуса, косинуса и тангенса угла) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Страницы: 126, 130, 131, 132
Глава: Глава 5
Параграф: § 23 - Определение синуса, косинуса и тангенса угла
Учебник: Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы -
Автор: Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год: 2025
Издание:

434 упражнение:

Найти значение выражения:

1) \( 3 \sin \frac{\pi}{3} + 2 \cos \frac{\pi}{6} - \tg \frac{\pi}{3} \)

Пояснение: Используем табличные значения для \( \frac{\pi}{3} = 60^{\circ} \) и \( \frac{\pi}{6} = 30^{\circ} \).

  • \( \sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} \).
  • \( \cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} \).
  • \( \tg \frac{\pi}{3} = \sqrt{3} \).
  • Подставляем: \( 3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \sqrt{3} \).
  • Упрощаем: \( \frac{3\sqrt{3}}{2} + \sqrt{3} - \sqrt{3} = \frac{3\sqrt{3}}{2} \).

Ответ: \( \frac{3\sqrt{3}}{2} \)

2) \( 5 \sin \frac{\pi}{4} + 3 \tg \frac{\pi}{4} - 5 \cos \frac{\pi}{4} - 10 \ctg \frac{\pi}{4} \)

Пояснение: Используем табличные значения для \( \frac{\pi}{4} = 45^{\circ} \).

  • \( \sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} \).
  • \( \cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} \).
  • \( \tg \frac{\pi}{4} = 1 \).
  • \( \ctg \frac{\pi}{4} = 1 \).
  • Подставляем: \( 5 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + 3 \cdot 1 - 5 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - 10 \cdot 1 \).
  • Группируем слагаемые: \( (5 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - 5 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) + (3 - 10) = 0 + (-7) = -7 \).

Ответ: \( -7 \)

3) \( (2 \tg \frac{\pi}{3} - \ctg \frac{\pi}{6}) : \cos \frac{\pi}{6} \)

Пояснение: Используем табличные значения для \( \frac{\pi}{3} = 60^{\circ} \) и \( \frac{\pi}{6} = 30^{\circ} \).

  • \( \tg \frac{\pi}{3} = \sqrt{3} \).
  • \( \ctg \frac{\pi}{6} = \sqrt{3} \).
  • \( \cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} \).
  • Подставляем в скобки: \( 2 \cdot \sqrt{3} - \sqrt{3} = \sqrt{3} \).
  • Выполняем деление: \( \sqrt{3} : \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = 2 \).

Ответ: \( 2 \)

4) \( \sin \frac{\pi}{3} \cdot \cos \frac{\pi}{6} - \tg \frac{\pi}{4} \)

Пояснение: Используем табличные значения.

  • \( \sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} \).
  • \( \cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} \).
  • \( \tg \frac{\pi}{4} = 1 \).
  • Подставляем: \( \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - 1 \).
  • Умножаем: \( \frac{3}{4} - 1 \).
  • Вычитаем: \( \frac{3}{4} - \frac{4}{4} = -\frac{1}{4} \).

Ответ: \( -\frac{1}{4} \)

Что применять при решении

Определение синуса угла
Синусом угла \( \alpha \) называется ордината точки, полученной поворотом точки \( (1; 0) \) вокруг начала координат на угол \( \alpha \) (обозначается \( \sin \alpha \)).
Для точки \( P_{\alpha} = (x; y) \) на единичной окружности: \( \sin \alpha = y \)
Определение косинуса угла
Косинусом угла \( \alpha \) называется абсцисса точки, полученной поворотом точки \( (1; 0) \) вокруг начала координат на угол \( \alpha \) (обозначается \( \cos \alpha \)).
Для точки \( P_{\alpha} = (x; y) \) на единичной окружности: \( \cos \alpha = x \)
Определение тангенса угла
Тангенсом угла \( \alpha \) называется отношение синуса угла к его косинусу, т.е. \( \tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \).
\( \tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \), при условии, что \( \cos \alpha \ne 0 \)
Основные тригонометрические тождества и формулы приведения
Для вычисления и упрощения выражений используются формулы приведения. Некоторые основные формулы, использованные в решениях:
  • \( \sin (\pi - \alpha) = \sin \alpha \)
  • \( \cos (\pi + \alpha) = -\cos \alpha \)
  • \( \sin (\frac{\pi}{2} - \alpha) = \cos \alpha \)
  • \( \tg (\pi + \alpha) = \tg \alpha \)
  • \( \sin (-\alpha) = -\sin \alpha \)
  • \( \cos (-\alpha) = \cos \alpha \)
  • \( \tg (-\alpha) = -\tg \alpha \)

    • Задали создать проект?

    Создай с помощью ИИ за 5 минут

    До 90% уникальность
    Готовый файл Word
    15-30 страниц
    Список источников по ГОСТ
    Оформление по ГОСТ
    Таблицы и схемы

    Другие упражнения из параграфа § 23

    429 430 431 432 433 434 435 436 437 438 439 440 441
    Уведомление об авторском праве и цитировании

    ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

    Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

    В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.