Нейросеть

Главная / Учебники / Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы / § 23 / Задание 440

ГДЗ: Упражнение 440 - § 23 (Определение синуса, косинуса и тангенса угла) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Страницы: 126, 130, 131, 132
Глава: Глава 5
Параграф: § 23 - Определение синуса, косинуса и тангенса угла
Учебник: Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы -
Автор: Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год: 2025
Издание:

440 упражнение:

Используя микрокалькулятор, проверить равенство:

1) \( \sin 60^{\circ} \approx 0,866 \)

Пояснение: Требуется проверить данное приближенное равенство, используя калькулятор.

  • Точное значение: \( \sin 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2} \).
  • Приближенное значение: \( \frac{\sqrt{3}}{2} \approx \frac{1,73205}{2} \approx 0,866025 \dots \).
  • Округляя до трех знаков после запятой, получаем \( 0,866 \).
  • Равенство верно.

Ответ: Равенство \( \sin 60^{\circ} \approx 0,866 \) верно.

2) \( \cos 45^{\circ} \approx 0,707 \)

Пояснение: Требуется проверить данное приближенное равенство, используя калькулятор.

  • Точное значение: \( \cos 45^{\circ} = \frac{\sqrt{2}}{2} \).
  • Приближенное значение: \( \frac{\sqrt{2}}{2} \approx \frac{1,41421}{2} \approx 0,707106 \dots \).
  • Округляя до трех знаков после запятой, получаем \( 0,707 \).
  • Равенство верно.

Ответ: Равенство \( \cos 45^{\circ} \approx 0,707 \) верно.

3) \( \cos \frac{\pi}{5} \approx 0,996 \)

Пояснение: Требуется проверить данное приближенное равенство, используя калькулятор. \( \frac{\pi}{5} \) радиан соответствует \( 36^{\circ} \).

  • Точное значение: \( \cos \frac{\pi}{5} = \cos 36^{\circ} = \frac{1 + \sqrt{5}}{4} \).
  • Приближенное значение: \( \cos \frac{\pi}{5} \approx 0,80901 \dots \).
  • Данное значение \( 0,996 \) очень близко к \( \cos 0 \) (который равен 1). На самом деле, \( \cos \frac{\pi}{5} \approx 0,809 \).
  • Равенство \( \cos \frac{\pi}{5} \approx 0,996 \) неверно.

Ответ: Равенство \( \cos \frac{\pi}{5} \approx 0,996 \) неверно. Правильное приближенное значение \( \cos \frac{\pi}{5} \approx 0,809 \).

4) \( \sin \frac{\pi}{13} \approx 0,225 \)

Пояснение: Требуется проверить данное приближенное равенство, используя калькулятор. \( \frac{\pi}{13} \) радиан.

  • Приближенное значение: \( \sin \frac{\pi}{13} \approx \sin (\frac{3,14159}{13}) \approx \sin (0,24166 \ \text{рад}) \).
  • На калькуляторе: \( \sin \frac{\pi}{13} \approx 0,24075 \dots \).
  • Округляя до трех знаков после запятой, получаем \( 0,241 \). Данное значение \( 0,225 \) близко, но отличается.
  • Равенство \( \sin \frac{\pi}{13} \approx 0,225 \) неверно (правильное \( \approx 0,241 \)).

Ответ: Равенство \( \sin \frac{\pi}{13} \approx 0,225 \) неверно. Правильное приближенное значение \( \sin \frac{\pi}{13} \approx 0,241 \).

Что применять при решении

Определение синуса угла
Синусом угла \( \alpha \) называется ордината точки, полученной поворотом точки \( (1; 0) \) вокруг начала координат на угол \( \alpha \) (обозначается \( \sin \alpha \)).
Для точки \( P_{\alpha} = (x; y) \) на единичной окружности: \( \sin \alpha = y \)
Определение косинуса угла
Косинусом угла \( \alpha \) называется абсцисса точки, полученной поворотом точки \( (1; 0) \) вокруг начала координат на угол \( \alpha \) (обозначается \( \cos \alpha \)).
Для точки \( P_{\alpha} = (x; y) \) на единичной окружности: \( \cos \alpha = x \)
Определение тангенса угла
Тангенсом угла \( \alpha \) называется отношение синуса угла к его косинусу, т.е. \( \tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \).
\( \tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \), при условии, что \( \cos \alpha \ne 0 \)
Основные тригонометрические тождества и формулы приведения
Для вычисления и упрощения выражений используются формулы приведения. Некоторые основные формулы, использованные в решениях:
  • \( \sin (\pi - \alpha) = \sin \alpha \)
  • \( \cos (\pi + \alpha) = -\cos \alpha \)
  • \( \sin (\frac{\pi}{2} - \alpha) = \cos \alpha \)
  • \( \tg (\pi + \alpha) = \tg \alpha \)
  • \( \sin (-\alpha) = -\sin \alpha \)
  • \( \cos (-\alpha) = \cos \alpha \)
  • \( \tg (-\alpha) = -\tg \alpha \)

    • Задали создать проект?

    Создай с помощью ИИ за 5 минут

    До 90% уникальность
    Готовый файл Word
    15-30 страниц
    Список источников по ГОСТ
    Оформление по ГОСТ
    Таблицы и схемы

    Другие упражнения из параграфа § 23

    429 430 431 432 433 434 435 436 437 438 439 440 441
    Уведомление об авторском праве и цитировании

    ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

    Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

    В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.