ГДЗ: Упражнение 439 - § 23 (Определение синуса, косинуса и тангенса угла) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Пояснение: Условие \( \sin x = -1 \) выполняется, когда ордината точки на единичной окружности равна -1. Это соответствует углам \( -\frac{\pi}{2} \) (или \( \frac{3\pi}{2} \)) и всем углам, отличающимся от него на \( 2\pi k \).

• Общая формула: \( x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \).

Ответ: \( x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k \), \( k \in \mathbb{Z} \)

Пояснение: Условие \( \cos x = -1 \) выполняется, когда абсцисса точки на единичной окружности равна -1. Это соответствует углам \( \pi \) и всем углам, отличающимся от него на \( 2\pi k \).

• Общая формула: \( x = \pi + 2\pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \).

Ответ: \( x = \pi + 2\pi k \), \( k \in \mathbb{Z} \)

Пояснение: Применяем общую формулу для \( \sin \alpha = 0 \) к аргументу \( 3x \): \( 3x = \pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \).

• Делим обе части на 3: \( x = \frac{\pi k}{3} \), где \( k \in \mathbb{Z} \).

Ответ: \( x = \frac{\pi k}{3} \), \( k \in \mathbb{Z} \)

Пояснение: Применяем общую формулу для \( \cos \alpha = 0 \) к аргументу \( 0,5x = \frac{x}{2} \): \( \frac{x}{2} = \frac{\pi}{2} + \pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \).

• Умножаем обе части на 2: \( x = 2 \cdot (\frac{\pi}{2} + \pi k) = \pi + 2\pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \).

Ответ: \( x = \pi + 2\pi k \), \( k \in \mathbb{Z} \)

Пояснение: Используем периодичность синуса: \( \sin (\alpha + 2\pi) = \sin \alpha \). Уравнение преобразуется к \( \sin \frac{x}{2} = 1 \).

• Применяем общую формулу для \( \sin \alpha = 1 \) к аргументу \( \frac{x}{2} \): \( \frac{x}{2} = \frac{\pi}{2} + 2\pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \).
• Умножаем обе части на 2: \( x = 2 \cdot (\frac{\pi}{2} + 2\pi k) = \pi + 4\pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \).

Ответ: \( x = \pi + 4\pi k \), \( k \in \mathbb{Z} \)

Пояснение: Применяем общую формулу для \( \cos \alpha = 1 \) к аргументу \( 5x + \frac{4\pi}{5} \): \( 5x + \frac{4\pi}{5} = 2\pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \).

• Выражаем \( 5x \): \( 5x = 2\pi k - \frac{4\pi}{5} \).
• Приводим к общему знаменателю: \( 5x = \frac{10\pi k}{5} - \frac{4\pi}{5} = \frac{10\pi k - 4\pi}{5} = \frac{\pi(10k - 4)}{5} \).
• Делим на 5: \( x = \frac{\pi(10k - 4)}{25} \), где \( k \in \mathbb{Z} \).

Ответ: \( x = \frac{\pi(10k - 4)}{25} \), \( k \in \mathbb{Z} \)