Нейросеть

Главная / Учебники / Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы / § 23 / Задание 435

ГДЗ: Упражнение 435 - § 23 (Определение синуса, косинуса и тангенса угла) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Страницы: 126, 130, 131, 132
Глава: Глава 5
Параграф: § 23 - Определение синуса, косинуса и тангенса угла
Учебник: Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы -
Автор: Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год: 2025
Издание:

435 упражнение:

Решить уравнение:

1) \( 2 \sin x = 0 \)

Пояснение: Делим обе части на 2: \( \sin x = 0 \). Решаем простейшее тригонометрическое уравнение.

  • Условие \( \sin x = 0 \) выполняется, когда ордината точки на единичной окружности равна нулю. Это соответствует углам \( 0, \pi, 2\pi, 3\pi, \ldots \) и \( -\pi, -2\pi, \ldots \).
  • Общая формула для этих углов: \( x = \pi k \), где \( k \) — любое целое число.

Ответ: \( x = \pi k \), \( k \in \mathbb{Z} \)

2) \( \frac{1}{2} \cos x = 0 \)

Пояснение: Умножаем обе части на 2: \( \cos x = 0 \). Решаем простейшее тригонометрическое уравнение.

  • Условие \( \cos x = 0 \) выполняется, когда абсцисса точки на единичной окружности равна нулю. Это соответствует углам \( \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}, \ldots \) и \( -\frac{\pi}{2}, -\frac{3\pi}{2}, \ldots \).
  • Общая формула для этих углов: \( x = \frac{\pi}{2} + \pi k \), где \( k \) — любое целое число.

Ответ: \( x = \frac{\pi}{2} + \pi k \), \( k \in \mathbb{Z} \)

3) \( \cos x - 1 = 0 \)

Пояснение: Переносим -1 в правую часть: \( \cos x = 1 \). Решаем простейшее тригонометрическое уравнение.

  • Условие \( \cos x = 1 \) выполняется, когда абсцисса точки на единичной окружности равна единице. Это соответствует углам \( 0, 2\pi, 4\pi, \ldots \) и \( -2\pi, -4\pi, \ldots \).
  • Общая формула для этих углов: \( x = 2\pi k \), где \( k \) — любое целое число.

Ответ: \( x = 2\pi k \), \( k \in \mathbb{Z} \)

4) \( 1 - \sin x = 0 \)

Пояснение: Переносим \( -\sin x \) в правую часть: \( 1 = \sin x \), или \( \sin x = 1 \). Решаем простейшее тригонометрическое уравнение.

  • Условие \( \sin x = 1 \) выполняется, когда ордината точки на единичной окружности равна единице. Это соответствует углам \( \frac{\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}, \ldots \) и \( -\frac{3\pi}{2}, \ldots \).
  • Общая формула для этих углов: \( x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k \), где \( k \) — любое целое число.

Ответ: \( x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k \), \( k \in \mathbb{Z} \)

Что применять при решении

Определение синуса угла
Синусом угла \( \alpha \) называется ордината точки, полученной поворотом точки \( (1; 0) \) вокруг начала координат на угол \( \alpha \) (обозначается \( \sin \alpha \)).
Для точки \( P_{\alpha} = (x; y) \) на единичной окружности: \( \sin \alpha = y \)
Определение косинуса угла
Косинусом угла \( \alpha \) называется абсцисса точки, полученной поворотом точки \( (1; 0) \) вокруг начала координат на угол \( \alpha \) (обозначается \( \cos \alpha \)).
Для точки \( P_{\alpha} = (x; y) \) на единичной окружности: \( \cos \alpha = x \)
Определение тангенса угла
Тангенсом угла \( \alpha \) называется отношение синуса угла к его косинусу, т.е. \( \tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \).
\( \tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \), при условии, что \( \cos \alpha \ne 0 \)
Основные тригонометрические тождества и формулы приведения
Для вычисления и упрощения выражений используются формулы приведения. Некоторые основные формулы, использованные в решениях:
  • \( \sin (\pi - \alpha) = \sin \alpha \)
  • \( \cos (\pi + \alpha) = -\cos \alpha \)
  • \( \sin (\frac{\pi}{2} - \alpha) = \cos \alpha \)
  • \( \tg (\pi + \alpha) = \tg \alpha \)
  • \( \sin (-\alpha) = -\sin \alpha \)
  • \( \cos (-\alpha) = \cos \alpha \)
  • \( \tg (-\alpha) = -\tg \alpha \)

    • Задали создать проект?

    Создай с помощью ИИ за 5 минут

    До 90% уникальность
    Готовый файл Word
    15-30 страниц
    Список источников по ГОСТ
    Оформление по ГОСТ
    Таблицы и схемы

    Другие упражнения из параграфа § 23

    429 430 431 432 433 434 435 436 437 438 439 440 441
    Уведомление об авторском праве и цитировании

    ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

    Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

    В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.