Главная / Учебники / Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы / § 23 / Задание 438

ГДЗ: Упражнение 438 - § 23 (Определение синуса, косинуса и тангенса угла) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Страницы: 126, 130, 131, 132

Глава:	Глава 5
Параграф:	§ 23 - Определение синуса, косинуса и тангенса угла
Учебник:	Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы -
Автор:	Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год:	2025
Издание:

438 упражнение:

Найти значение выражения:

1) \( \sin \frac{\pi}{4} \cos \frac{\pi}{4} - \sin \frac{\pi}{3} \cos \frac{\pi}{6} \)

Пояснение: Используем табличные значения.

\( \sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} \), \( \cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} \).
\( \sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} \), \( \cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} \).
Подставляем: \( (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) - (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}) \).
Умножаем: \( \frac{2}{4} - \frac{3}{4} \).
Вычитаем: \( \frac{1}{2} - \frac{3}{4} = \frac{2}{4} - \frac{3}{4} = -\frac{1}{4} \).

Ответ: \( -\frac{1}{4} \)

2) \( 2 \tg^2 \frac{\pi}{6} - \ctg^2 \frac{\pi}{3} - \sin \frac{\pi}{2} \cos \frac{\pi}{3} \)

Пояснение: Используем табличные значения.

\( \tg \frac{\pi}{6} = \frac{1}{\sqrt{3}} \), \( \tg^2 \frac{\pi}{6} = (\frac{1}{\sqrt{3}})^2 = \frac{1}{3} \).
\( \ctg \frac{\pi}{3} = \frac{1}{\sqrt{3}} \), \( \ctg^2 \frac{\pi}{3} = (\frac{1}{\sqrt{3}})^2 = \frac{1}{3} \).
\( \sin \frac{\pi}{2} = 1 \).
\( \cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} \).
Подставляем: \( 2 \cdot \frac{1}{3} - \frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{1}{2} \).
Упрощаем: \( \frac{2}{3} - \frac{1}{3} - \frac{1}{2} = \frac{1}{3} - \frac{1}{2} \).
Приводим к общему знаменателю: \( \frac{2}{6} - \frac{3}{6} = -\frac{1}{6} \).

Ответ: \( -\frac{1}{6} \)

3) \( (\tg \frac{\pi}{4} - \ctg \frac{\pi}{4}) (\ctg \frac{\pi}{6} + \tg \frac{\pi}{6}) \)

Пояснение: Используем табличные значения.

\( \tg \frac{\pi}{4} = 1 \), \( \ctg \frac{\pi}{4} = 1 \).
\( \ctg \frac{\pi}{6} = \sqrt{3} \), \( \tg \frac{\pi}{6} = \frac{1}{\sqrt{3}} \).
Вычисляем первую скобку: \( \tg \frac{\pi}{4} - \ctg \frac{\pi}{4} = 1 - 1 = 0 \).
Так как первый множитель равен 0, то произведение равно 0.
(Для справки, вторая скобка: \( \sqrt{3} + \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{3+1}{\sqrt{3}} = \frac{4}{\sqrt{3}} \)).
Итоговое выражение: \( 0 \cdot (\frac{4}{\sqrt{3}}) = 0 \).

Ответ: \( 0 \)

4) \( 2 \cos^2 \frac{\pi}{6} - \sin^2 \frac{\pi}{3} + \tg \frac{\pi}{4} \ctg \frac{\pi}{3} \)

Пояснение: Используем табличные значения.

\( \cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} \), \( \cos^2 \frac{\pi}{6} = (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = \frac{3}{4} \).
\( \sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} \), \( \sin^2 \frac{\pi}{3} = (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = \frac{3}{4} \).
\( \tg \frac{\pi}{4} = 1 \).
\( \ctg \frac{\pi}{3} = \frac{1}{\sqrt{3}} \).
Подставляем: \( 2 \cdot \frac{3}{4} - \frac{3}{4} + 1 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} \).
Упрощаем: \( \frac{6}{4} - \frac{3}{4} + \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{3}{4} + \frac{1}{\sqrt{3}} \).
Приводим к общему знаменателю (\( 4\sqrt{3} \)): \( \frac{3\sqrt{3}}{4\sqrt{3}} + \frac{4}{4\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3} + 4}{4\sqrt{3}} \). (Обычно оставляют в виде \( \frac{3}{4} + \frac{\sqrt{3}}{3} \)).

Ответ: \( \frac{3}{4} + \frac{1}{\sqrt{3}} \) (или \( \frac{3\sqrt{3} + 4}{4\sqrt{3}} \))

Что применять при решении

Определение синуса угла

Синусом угла \( \alpha \) называется ордината точки, полученной поворотом точки \( (1; 0) \) вокруг начала координат на угол \( \alpha \) (обозначается \( \sin \alpha \)).

Для точки \( P_{\alpha} = (x; y) \) на единичной окружности: \( \sin \alpha = y \)

Определение косинуса угла

Косинусом угла \( \alpha \) называется абсцисса точки, полученной поворотом точки \( (1; 0) \) вокруг начала координат на угол \( \alpha \) (обозначается \( \cos \alpha \)).

Для точки \( P_{\alpha} = (x; y) \) на единичной окружности: \( \cos \alpha = x \)

Определение тангенса угла

Тангенсом угла \( \alpha \) называется отношение синуса угла к его косинусу, т.е. \( \tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \).

\( \tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \), при условии, что \( \cos \alpha \ne 0 \)

Основные тригонометрические тождества и формулы приведения

Для вычисления и упрощения выражений используются формулы приведения. Некоторые основные формулы, использованные в решениях:

\( \sin (\pi - \alpha) = \sin \alpha \)

\( \cos (\pi + \alpha) = -\cos \alpha \)

\( \sin (\frac{\pi}{2} - \alpha) = \cos \alpha \)

\( \tg (\pi + \alpha) = \tg \alpha \)

\( \sin (-\alpha) = -\sin \alpha \)

\( \cos (-\alpha) = \cos \alpha \)

\( \tg (-\alpha) = -\tg \alpha \)

Задали создать проект?

Создай с помощью ИИ за 5 минут

До 90% уникальность

Готовый файл Word

15-30 страниц

Список источников по ГОСТ

Оформление по ГОСТ

Таблицы и схемы

Создать

Другие упражнения из параграфа § 23

429 430 431 432 433 434 435 436 437 438 439 440 441

Уведомление об авторском праве и цитировании

ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.