ГДЗ: Упражнение 723 - § 41 (Свойства функции y = sin x и ее график) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Шаг 1: Определим четверти и расположение углов.

\n
• Угол \( \frac{7\pi}{10} = \pi - \frac{3\pi}{10} \). Так как \( 0 < \frac{3\pi}{10} < \frac{\pi}{2} \), то \( \frac{7\pi}{10} \) лежит во II четверти (\( \frac{\pi}{2} < \frac{7\pi}{10} < \pi \)), где \( \sin x > 0 \).
\n
• Угол \( \frac{13\pi}{10} = \pi + \frac{3\pi}{10} \). Так как \( 0 < \frac{3\pi}{10} < \frac{\pi}{2} \), то \( \frac{13\pi}{10} \) лежит в III четверти (\( \pi < \frac{13\pi}{10} < \frac{3\pi}{2} \)), где \( \sin x < 0 \).
\n

Шаг 2: Сравнение по знаку.

\n
• Так как \( \sin \frac{7\pi}{10} > 0 \) и \( \sin \frac{13\pi}{10} < 0 \), то \( \sin \frac{7\pi}{10} > \sin \frac{13\pi}{10} \).
\n

\( \sin \frac{7\pi}{10} > \sin \frac{13\pi}{10} \).

Шаг 1: Определим интервал и монотонность.

\n
• Оба числа \( \frac{13\pi}{7} \) и \( \frac{11\pi}{7} \) лежат на отрезке \( [\pi; 2\pi] \). \( \frac{7\pi}{7} \le \frac{11\pi}{7} < \frac{13\pi}{7} \le \frac{14\pi}{7} \).
\n
• Отрезок \( [\pi; 2\pi] \) содержит промежуток убывания \( [\pi; \frac{3\pi}{2}] = [\frac{7\pi}{7}; \frac{10.5\pi}{7}] \) и промежуток возрастания \( [\frac{3\pi}{2}; 2\pi] = [\frac{10.5\pi}{7}; \frac{14\pi}{7}] \).
\n
• Оба угла \( \frac{11\pi}{7} \approx 1.57\pi \) и \( \frac{13\pi}{7} \approx 1.86\pi \) находятся на промежутке \( [\frac{3\pi}{2}; 2\pi] \), так как \( \frac{3\pi}{2} = \frac{10.5\pi}{7} \).
\n

Шаг 2: Сравнение по монотонности.

\n
• На промежутке \( [\frac{3\pi}{2}; 2\pi] \) функция \( y = \sin x \) возрастает.
\n
• Сравниваем аргументы: \( \frac{11\pi}{7} < \frac{13\pi}{7} \).
\n
• Поскольку функция возрастает, то большему аргументу соответствует большее значение функции: \( \sin \frac{11\pi}{7} < \sin \frac{13\pi}{7} \).
\n

\( \sin \frac{13\pi}{7} > \sin \frac{11\pi}{7} \).

Шаг 1: Определим интервал и монотонность.

\n
• Оба угла \( -\frac{8\pi}{7} \approx -1.14\pi \) и \( -\frac{9\pi}{7} \approx -1.29\pi \) лежат на отрезке \( [-2\pi; -\pi] \).
\n
• Упорядочим аргументы: \( -\frac{9\pi}{7} < -\frac{8\pi}{7} \).
\n
• Отрезок \( [-2\pi; -\pi] \) разбивается на промежуток возрастания \( [-2\pi; -\frac{3\pi}{2}] \) и промежуток убывания \( [-\frac{3\pi}{2}; -\pi] \).
\n
• Так как \( -\frac{3\pi}{2} = -\frac{10.5\pi}{7} \), то оба угла \( -\frac{9\pi}{7} \) и \( -\frac{8\pi}{7} \) находятся на промежутке \( [-\frac{3\pi}{2}; -\pi] \approx [-1.5\pi; -\pi] \).
\n

Шаг 2: Сравнение по монотонности.

\n
• На промежутке \( [-\frac{3\pi}{2}; -\pi] \) функция \( y = \sin x \) убывает.
\n
• Так как \( -\frac{9\pi}{7} < -\frac{8\pi}{7} \) и функция убывает, то меньшему аргументу соответствует большее значение функции: \( \sin (-\frac{9\pi}{7}) > \sin (-\frac{8\pi}{7}) \).
\n

\( \sin (-\frac{8\pi}{7}) < \sin (-\frac{9\pi}{7}) \).

Шаг 1: Определим интервал и монотонность.

\n
• Примерные значения: \( 2\pi \approx 6.28 \), \( \frac{5\pi}{2} \approx 7.85 \).
\n
• Оба числа \( 6 \) и \( 7 \) лежат на отрезке \( [2\pi; \frac{5\pi}{2}] \approx [6.28; 7.85] \).
\n
• Упорядочим аргументы: \( 6 < 7 \).
\n

Шаг 2: Сравнение по монотонности.

\n
• Отрезок \( [2\pi; \frac{5\pi}{2}] \) является промежутком возрастания функции \( y = \sin x \).
\n
• Так как \( 6 < 7 \) и функция возрастает, то \( \sin 6 < \sin 7 \).
\n

\( \sin 7 > \sin 6 \).