ГДЗ: Упражнение 727 - § 41 (Свойства функции y = sin x и ее график) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Шаг 1: Находим общее решение уравнения \( \sin 2x = \frac{1}{2} \).

\( 2x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z} \)

\( x = (-1)^k \frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z} \)

Шаг 2: Находим корни, принадлежащие отрезку \( [-\frac{3\pi}{2}; \pi] \).

Отрезок: \( [-\frac{18\pi}{12}; \frac{12\pi}{12}] \).

\n
• При \( k = -3 \): \( x = -\frac{\pi}{12} - \frac{3\pi}{2} = -\frac{\pi}{12} - \frac{18\pi}{12} = -\frac{19\pi}{12} \). Проверяем: \( -\frac{19\pi}{12} \approx -1.58\pi \). Не подходит (\( < -\frac{3\pi}{2} \)).
\n
• При \( k = -2 \): \( x = \frac{\pi}{12} - \pi = -\frac{11\pi}{12} \). Подходит.
\n
• При \( k = -1 \): \( x = -\frac{\pi}{12} - \frac{\pi}{2} = -\frac{7\pi}{12} \). Подходит.
\n
• При \( k = 0 \): \( x = \frac{\pi}{12} \). Подходит.
\n
• При \( k = 1 \): \( x = -\frac{\pi}{12} + \frac{\pi}{2} = \frac{5\pi}{12} \). Подходит.
\n
• При \( k = 2 \): \( x = \frac{\pi}{12} + \pi = \frac{13\pi}{12} \). Проверяем: \( \frac{13\pi}{12} \approx 1.08\pi \). Не подходит (\( > \pi \)).
\n

\( x \in \left\{ -\frac{11\pi}{12}, -\frac{7\pi}{12}, \frac{\pi}{12}, \frac{5\pi}{12} \right\} \).

Шаг 1: Находим общее решение уравнения \( \sin 3x = \frac{\sqrt{3}}{2} \).

\( 3x = (-1)^k \frac{\pi}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z} \)

\( x = (-1)^k \frac{\pi}{9} + \frac{\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z} \)

Шаг 2: Находим корни, принадлежащие отрезку \( [-\frac{3\pi}{2}; \pi] \).

Отрезок: \( [-\frac{27\pi}{18}; \frac{18\pi}{18}] \).

\n
• При \( k = -4 \): \( x = \frac{\pi}{9} - \frac{4\pi}{3} = \frac{\pi - 12\pi}{9} = -\frac{11\pi}{9} \). Проверяем: \( -\frac{11\pi}{9} \approx -1.22\pi \). Подходит.
\n
• При \( k = -3 \): \( x = -\frac{\pi}{9} - \pi = -\frac{10\pi}{9} \). Подходит.
\n
• При \( k = -2 \): \( x = \frac{\pi}{9} - \frac{2\pi}{3} = -\frac{5\pi}{9} \). Подходит.
\n
• При \( k = -1 \): \( x = -\frac{\pi}{9} - \frac{\pi}{3} = -\frac{4\pi}{9} \). Подходит.
\n
• При \( k = 0 \): \( x = \frac{\pi}{9} \). Подходит.
\n
• При \( k = 1 \): \( x = -\frac{\pi}{9} + \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{9} \). Подходит.
\n
• При \( k = 2 \): \( x = \frac{\pi}{9} + \frac{2\pi}{3} = \frac{7\pi}{9} \). Подходит.
\n
• При \( k = 3 \): \( x = -\frac{\pi}{9} + \pi = \frac{8\pi}{9} \). Подходит.
\n
• При \( k = 4 \): \( x = \frac{\pi}{9} + \frac{4\pi}{3} = \frac{13\pi}{9} \). Проверяем: \( \frac{13\pi}{9} \approx 1.44\pi \). Не подходит (\( > \pi \)).
\n

\( x \in \left\{ -\frac{11\pi}{9}, -\frac{10\pi}{9}, -\frac{5\pi}{9}, -\frac{4\pi}{9}, \frac{\pi}{9}, \frac{2\pi}{9}, \frac{7\pi}{9}, \frac{8\pi}{9} \right\} \).