ГДЗ: Упражнение 730 - § 41 (Свойства функции y = sin x и ее график) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Шаг 1: Определяем поведение функции на промежутке \( [\frac{\pi}{6}; \pi] \).

\n
• На отрезке \( [\frac{\pi}{6}; \frac{\pi}{2}] \) функция \( y = \sin x \) возрастает.
\n
• На отрезке \( [\frac{\pi}{2}; \pi] \) функция \( y = \sin x \) убывает.
\n

Шаг 2: Находим минимальное и максимальное значения.

\n
• Наибольшее значение достигается в точке максимума \( x = \frac{\pi}{2} \): \( y_{\text{max}} = \sin \frac{\pi}{2} = 1 \).
\n
• Наименьшее значение достигается на границах: \( \sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2} \), \( \sin \pi = 0 \). Наименьшее из них: \( y_{\text{min}} = 0 \).
\n

Множество значений — отрезок между минимальным и максимальным значениями.

\( E(y) = [0; 1] \).

Шаг 1: Определяем поведение функции на промежутке \( [\frac{3\pi}{4}; \frac{5\pi}{4}] \).

\n
• Промежуток \( [\frac{3\pi}{4}; \frac{5\pi}{4}] \) содержит точку минимума \( x = \pi \).
\n
• На отрезке \( [\frac{3\pi}{4}; \pi] \) функция \( y = \sin x \) убывает.
\n
• На отрезке \( [\pi; \frac{5\pi}{4}] \) функция \( y = \sin x \) убывает.
\n

Шаг 2: Находим минимальное и максимальное значения.

\n
• Наименьшее значение достигается в точке минимума: \( y_{\text{min}} = \sin \pi = 0 \). (Ошибка: \( x=\pi \) — ноль функции, а не минимум на этом отрезке). \n
  Наименьшее значение достигается на концах отрезка. Сравниваем: \( \sin \frac{3\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} \) и \( \sin \frac{5\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2} \). Наименьшее значение: \( y_{\text{min}} = -\frac{\sqrt{2}}{2} \).
\n
• Наибольшее значение: \( y_{\text{max}} = \sin \frac{3\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} \).
\n

Множество значений — отрезок между минимальным и максимальным значениями.

\( E(y) = [-\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2}] \).