ГДЗ: Упражнение 725 - § 41 (Свойства функции y = sin x и ее график) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Шаг 1: Находим корни уравнения \( \sin x = \frac{1}{2} \) на отрезке \( [0; 3\pi] \).

\( x_1 = \arcsin \frac{1}{2} + 2\pi k = \frac{\pi}{6} + 2\pi k \)

\( x_2 = \pi - \arcsin \frac{1}{2} + 2\pi k = \pi - \frac{\pi}{6} + 2\pi k = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k \)

На отрезке \( [0; 3\pi] \) корни: \( \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6} \) (при \( k=0 \)) и \( \frac{\pi}{6} + 2\pi = \frac{13\pi}{6}, \frac{5\pi}{6} + 2\pi = \frac{17\pi}{6} \) (при \( k=1 \)).

Шаг 2: Определяем интервалы, где \( \sin x > \frac{1}{2} \).

На отрезке \( [0; 3\pi] \), график функции \( y = \sin x \) лежит выше прямой \( y = \frac{1}{2} \) в интервалах, начинающихся с наименьшего корня и заканчивающихся следующим наибольшим корнем:

\n
• Первый интервал: \( (\frac{\pi}{6}; \frac{5\pi}{6}) \).
\n
• Второй интервал: \( (\frac{13\pi}{6}; \frac{17\pi}{6}) \).
\n

\( x \in (\frac{\pi}{6}; \frac{5\pi}{6}) \cup (\frac{13\pi}{6}; \frac{17\pi}{6}) \).

Шаг 1: Находим корни уравнения \( \sin x = \frac{\sqrt{2}}{2} \) на отрезке \( [0; 3\pi] \).

Корни: \( \frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4} \) (при \( k=0 \)) и \( \frac{\pi}{4} + 2\pi = \frac{9\pi}{4}, \frac{3\pi}{4} + 2\pi = \frac{11\pi}{4} \) (при \( k=1 \)).

Шаг 2: Определяем интервалы, где \( \sin x \le \frac{\sqrt{2}}{2} \).

На отрезке \( [0; 3\pi] \), график функции \( y = \sin x \) лежит ниже или на прямой \( y = \frac{\sqrt{2}}{2} \) в интервалах, начинающихся с нуля или следующего наибольшего корня и заканчивающихся следующим наименьшим корнем или \( 3\pi \):

\n
• Первый интервал (от начала): \( [0; \frac{\pi}{4}] \).
\n
• Второй интервал (между корнями): \( [\frac{3\pi}{4}; \frac{9\pi}{4}] \).
\n
• Третий интервал (до конца): \( [\frac{11\pi}{4}; 3\pi] \).
\n

Проверим концы: \( \sin 0 = 0 \le \frac{\sqrt{2}}{2} \), \( \sin 3\pi = 0 \le \frac{\sqrt{2}}{2} \).

\( x \in [0; \frac{\pi}{4}] \cup [\frac{3\pi}{4}; \frac{9\pi}{4}] \cup [\frac{11\pi}{4}; 3\pi] \).

Шаг 1: Определяем, когда \( \sin x = -1 \).

На отрезке \( [0; 3\pi] \) \( \sin x = -1 \) только в точке \( x = \frac{3\pi}{2} \).

Шаг 2: Определяем интервалы, где \( \sin x > -1 \).

Поскольку область значений функции \( y = \sin x \) — это \( [-1; 1] \), неравенство \( \sin x > -1 \) выполняется всегда, кроме точек, где \( \sin x = -1 \).

На отрезке \( [0; 3\pi] \) это весь отрезок, кроме точки \( \frac{3\pi}{2} \).

\( x \in [0; \frac{3\pi}{2}) \cup (\frac{3\pi}{2}; 3\pi] \).

Шаг 1: Находим корни уравнения \( \sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2} \) на отрезке \( [0; 3\pi] \).

Корни: \( \frac{4\pi}{3}, \frac{5\pi}{3} \) (при \( k=0 \)) и \( \frac{4\pi}{3} + 2\pi = \frac{10\pi}{3} > 3\pi \) (не подходит).

На отрезке \( [0; 3\pi] \) корни: \( \frac{4\pi}{3} \) и \( \frac{5\pi}{3} \).

Шаг 2: Определяем интервалы, где \( \sin x < -\frac{\sqrt{3}}{2} \).

На отрезке \( [0; 3\pi] \), график функции \( y = \sin x \) лежит ниже прямой \( y = -\frac{\sqrt{3}}{2} \) только в интервале \( (\frac{4\pi}{3}; \frac{5\pi}{3}) \).

\( x \in (\frac{4\pi}{3}; \frac{5\pi}{3}) \).