ГДЗ: Упражнение 726 - § 41 (Свойства функции y = sin x и ее график) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Шаг 1: Преобразуем \( \cos \frac{\pi}{9} \) с помощью формулы приведения.

Используем формулу \( \cos \alpha = \sin (\frac{\pi}{2} - \alpha) \).

\( \cos \frac{\pi}{9} = \sin (\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{9}) = \sin (\frac{9\pi - 2\pi}{18}) = \sin \frac{7\pi}{18} \).

Сравнение сводится к \( \sin \frac{\pi}{9} \) и \( \sin \frac{7\pi}{18} \).

Шаг 2: Сравниваем синусы.

\n
• Оба угла \( \frac{\pi}{9} = \frac{2\pi}{18} \) и \( \frac{7\pi}{18} \) лежат на отрезке \( [0; \frac{\pi}{2}] \).
\n
• На отрезке \( [0; \frac{\pi}{2}] \) функция \( y = \sin x \) возрастает.
\n
• Сравниваем аргументы: \( \frac{2\pi}{18} < \frac{7\pi}{18} \).
\n
• Следовательно, \( \sin \frac{2\pi}{18} < \sin \frac{7\pi}{18} \), т.е. \( \sin \frac{\pi}{9} < \cos \frac{\pi}{9} \).
\n

\( \sin \frac{\pi}{9} < \cos \frac{\pi}{9} \).

Шаг 1: Определяем четверть и знаки.

\n
• Угол \( \frac{9\pi}{8} = \pi + \frac{\pi}{8} \). Это III четверть (\( \pi < \frac{9\pi}{8} < \frac{3\pi}{2} \)).
\n
• В III четверти \( \sin x < 0 \) и \( \cos x < 0 \).
\n

Шаг 2: Преобразуем \( \cos \frac{9\pi}{8} \) и сравниваем.

\( \cos \frac{9\pi}{8} = \cos (\pi + \frac{\pi}{8}) = -\cos \frac{\pi}{8} \).

\( \sin \frac{9\pi}{8} = \sin (\pi + \frac{\pi}{8}) = -\sin \frac{\pi}{8} \).

Сравнение \( \sin \frac{9\pi}{8} \) и \( \cos \frac{9\pi}{8} \) равносильно сравнению \( -\sin \frac{\pi}{8} \) и \( -\cos \frac{\pi}{8} \).

Умножим на \( -1 \) и поменяем знак неравенства: \( \sin \frac{\pi}{8} \) и \( \cos \frac{\pi}{8} \).

Так как \( \frac{\pi}{8} \in (0; \frac{\pi}{4}) \), и на этом интервале \( \sin x \) меньше \( \cos x \), то \( \sin \frac{\pi}{8} < \cos \frac{\pi}{8} \).

Следовательно, \( -\sin \frac{\pi}{8} > -\cos \frac{\pi}{8} \), то есть \( \sin \frac{9\pi}{8} > \cos \frac{9\pi}{8} \).

\( \sin \frac{9\pi}{8} > \cos \frac{9\pi}{8} \).

Шаг 1: Преобразуем \( \cos \frac{5\pi}{14} \) с помощью формулы приведения.

\( \cos \frac{5\pi}{14} = \sin (\frac{\pi}{2} - \frac{5\pi}{14}) = \sin (\frac{7\pi - 5\pi}{14}) = \sin \frac{2\pi}{14} = \sin \frac{\pi}{7} \).

Сравнение сводится к \( \sin \frac{5\pi}{14} \) и \( \sin \frac{\pi}{7} \).

Шаг 2: Сравниваем синусы.

\n
• Оба угла \( \frac{5\pi}{14} \) и \( \frac{\pi}{7} = \frac{2\pi}{14} \) лежат на отрезке \( [0; \frac{\pi}{2}] \).
\n
• На отрезке \( [0; \frac{\pi}{2}] \) функция \( y = \sin x \) возрастает.
\n
• Сравниваем аргументы: \( \frac{5\pi}{14} > \frac{2\pi}{14} \).
\n
• Следовательно, \( \sin \frac{5\pi}{14} > \sin \frac{2\pi}{14} \), т.е. \( \sin \frac{5\pi}{14} > \cos \frac{5\pi}{14} \).
\n

\( \sin \frac{5\pi}{14} > \cos \frac{5\pi}{14} \).

Шаг 1: Преобразуем \( \cos \frac{3\pi}{10} \) с помощью формулы приведения.

\( \cos \frac{3\pi}{10} = \sin (\frac{\pi}{2} - \frac{3\pi}{10}) = \sin (\frac{5\pi - 3\pi}{10}) = \sin \frac{2\pi}{10} = \sin \frac{\pi}{5} \).

Сравнение сводится к \( \sin \frac{3\pi}{8} \) и \( \sin \frac{\pi}{5} \).

Шаг 2: Сравниваем синусы.

\n
• Оба угла \( \frac{3\pi}{8} \) и \( \frac{\pi}{5} \) лежат на отрезке \( [0; \frac{\pi}{2}] \).
\n
• На отрезке \( [0; \frac{\pi}{2}] \) функция \( y = \sin x \) возрастает.
\n
• Сравниваем аргументы: \( \frac{3\pi}{8} \) и \( \frac{\pi}{5} \). Приведем к общему знаменателю: \( \frac{15\pi}{40} \) и \( \frac{8\pi}{40} \).
\n
• Так как \( \frac{15\pi}{40} > \frac{8\pi}{40} \), то \( \frac{3\pi}{8} > \frac{\pi}{5} \).
\n
• Следовательно, \( \sin \frac{3\pi}{8} > \sin \frac{\pi}{5} \), т.е. \( \sin \frac{3\pi}{8} > \cos \frac{3\pi}{10} \).
\n

\( \sin \frac{3\pi}{8} > \cos \frac{3\pi}{10} \).