ГДЗ: Упражнение 102 - Глава 1 (Итоговые упражнения) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Шаг 1: Упрощаем выражения под корнем.

• Первое основание:
  \( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{3}{6} - \frac{2}{6} = \frac{1}{6} \).
  \( (\frac{1}{6})^{-1} = 6 \).
• Второе основание:
  \( \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{5}{6} \).
  \( (\frac{5}{6})^{-1} = \frac{6}{5} \).

Шаг 2: Сравниваем числа.

• Сравниваем \( \sqrt[7]{6} \) и \( \sqrt[7]{\frac{6}{5}} \).
• Так как \( 6 > \frac{6}{5} \) и корень нечетной степени (7) сохраняет знак и соотношение оснований, то \( \sqrt[7]{6} > \sqrt[7]{\frac{6}{5}} \).

Ответ: \( \sqrt[7]{(\frac{1}{2} - \frac{1}{3})^{-1}} > \sqrt[7]{(\frac{1}{2} + \frac{1}{3})^{-1}} \).

Шаг 1: Упрощаем выражения.

• Общий множитель: \( 5 \).
• Показатели: Оба числа имеют корень \( \sqrt[3]{...} \) (или степень \( \frac{1}{3} \)) и внешнюю степень \( \frac{1}{3} \) (или корень \( \sqrt[3]{...} \)).
  \( 5\sqrt[3]{A^{\frac{1}{3}}} = 5(A^{\frac{1}{3}})^{\frac{1}{3}} = 5A^{\frac{1}{9}} \).
• Первое основание:
  \( A_1 = \frac{1}{6} - \frac{1}{11} = \frac{11 - 6}{66} = \frac{5}{66} \).
• Второе основание:
  \( A_2 = \frac{1}{6} + \frac{1}{11} = \frac{11 + 6}{66} = \frac{17}{66} \).

Шаг 2: Сравниваем.

• Сравниваем \( 5 \cdot (\frac{5}{66})^{\frac{1}{9}} \) и \( 5 \cdot (\frac{17}{66})^{\frac{1}{9}} \).
• Так как \( \frac{17}{66} > \frac{5}{66} \) и показатель \( \frac{1}{9} > 0 \), то \( (\frac{17}{66})^{\frac{1}{9}} > (\frac{5}{66})^{\frac{1}{9}} \).

Ответ: \( 5\sqrt[3]{(\frac{1}{6} - \frac{1}{11})^{\frac{1}{3}}} < 5\sqrt[3]{(\frac{1}{6} + \frac{1}{11})^{\frac{1}{3}}} \).