ГДЗ: Упражнение 118 - Глава 1 (Итоговые упражнения) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Шаг 1: Обозначим искомое выражение через \( x \).

• Пусть \( x = \sqrt[3]{7 + 5\sqrt{2}} + \sqrt[3]{7 - 5\sqrt{2}} \).

Шаг 2: Возводим обе части в куб.

• Используем формулу \( (a + b)^3 = a^3 + b^3 + 3ab(a + b) \).
  \( x^3 = (\sqrt[3]{7 + 5\sqrt{2}})^3 + (\sqrt[3]{7 - 5\sqrt{2}})^3 + 3 \cdot \sqrt[3]{(7 + 5\sqrt{2})(7 - 5\sqrt{2})} \cdot (\sqrt[3]{7 + 5\sqrt{2}} + \sqrt[3]{7 - 5\sqrt{2}}) \).

Шаг 3: Упрощаем выражения.

• \( a^3 + b^3 \):
  \( (7 + 5\sqrt{2}) + (7 - 5\sqrt{2}) = 14 \).
• \( ab \):
  \( 3 \cdot \sqrt[3]{7^2 - (5\sqrt{2})^2} = 3 \cdot \sqrt[3]{49 - 50} = 3 \cdot \sqrt[3]{-1} = 3 \cdot (-1) = -3 \).
• \( a + b \):
  Поскольку \( \sqrt[3]{7 + 5\sqrt{2}} + \sqrt[3]{7 - 5\sqrt{2}} = x \).

Шаг 4: Составляем уравнение относительно \( x \).

• \( x^3 = 14 + 3 \cdot (-1) \cdot x \)
  \( x^3 = 14 - 3x \).
• Приводим к стандартному виду кубического уравнения:
  \( x^3 + 3x - 14 = 0 \).

Шаг 5: Находим целые корни (делители свободного члена).

• Делители \( 14 \): \( \pm 1, \pm 2, \pm 7, \pm 14 \).
• Проверяем \( x = 2 \):
  \( 2^3 + 3(2) - 14 = 8 + 6 - 14 = 14 - 14 = 0 \).

Шаг 6: Делаем вывод.

• Так как \( x = 2 \) является корнем кубического уравнения, и выражение \( x \) является действительным числом, то \( x = 2 \).
• Следовательно, \( \sqrt[3]{7 + 5\sqrt{2}} + \sqrt[3]{7 - 5\sqrt{2}} = 2 \).

Ответ: Доказано, что \( \sqrt[3]{7 + 5\sqrt{2}} + \sqrt[3]{7 - 5\sqrt{2}} = 2 \).