Нейросеть

Главная / Учебники / Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы / Глава 1 / Задание 96

ГДЗ: Упражнение 96 - Глава 1 (Итоговые упражнения) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Страницы: 35, 36, 37, 38
Глава: Глава 1
Параграф: Глава 1 - Итоговые упражнения
Учебник: Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы -
Автор: Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год: 2025
Издание:

96 упражнение:

Вычислить:

1) \( (\frac{3}{4} - \frac{2}{3}) \cdot (96 - 2^{-1}) \)

Шаг 1: Вычисляем первую скобку.

  • Общий знаменатель \( 12 \): \( \frac{3}{4} - \frac{2}{3} = \frac{9}{12} - \frac{8}{12} = \frac{1}{12} \).

Шаг 2: Вычисляем вторую скобку.

  • \( 2^{-1} = \frac{1}{2} \).
  • \( 96 - \frac{1}{2} = 95\frac{1}{2} = \frac{191}{2} \).

Шаг 3: Вычисляем произведение.

  • \( \frac{1}{12} \cdot \frac{191}{2} = \frac{191}{24} \).

Ответ: \( \frac{191}{24} \).

2) \( (\frac{1}{2} - 125^{-1}) : 1,25^{-1} \cdot 3^{\frac{1}{3}} \)

Шаг 1: Упрощаем степени.

  • \( 125^{-1} = \frac{1}{125} \).
  • \( 1,25^{-1} = (\frac{5}{4})^{-1} = \frac{4}{5} \).

Шаг 2: Вычисляем первую скобку.

  • \( \frac{1}{2} - \frac{1}{125} \). Общий знаменатель \( 250 \).
    \( \frac{125}{250} - \frac{2}{250} = \frac{123}{250} \).

Шаг 3: Вычисляем деление.

  • \( \frac{123}{250} : \frac{4}{5} = \frac{123}{250} \cdot \frac{5}{4} \).
  • Сокращаем \( 250 \) и \( 5 \): \( \frac{123}{50 \cdot 4} = \frac{123}{200} \).

Шаг 4: Умножаем на \( 3^{\frac{1}{3}} \).

  • \( \frac{123}{200} \cdot \sqrt[3]{3} = \frac{123\sqrt[3]{3}}{200} \).

Ответ: \( \frac{123\sqrt[3]{3}}{200} \).

3) \( 27^{\frac{2}{3}} + 9^{-1} \)

Шаг 1: Упрощаем степени.

  • \( 27^{\frac{2}{3}} = (3^3)^{\frac{2}{3}} = 3^2 = 9 \).
  • \( 9^{-1} = \frac{1}{9} \).

Шаг 2: Складываем.

  • \( 9 + \frac{1}{9} = 9\frac{1}{9} = \frac{82}{9} \).

Ответ: \( \frac{82}{9} \).

4) \( (0,01)^{-2} \cdot 100^{-\frac{1}{2}} \)

Шаг 1: Упрощаем степени.

  • \( (0,01)^{-2} = (\frac{1}{100})^{-2} = 100^2 = 10000 \).
  • \( 100^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{100}} = \frac{1}{10} \).

Шаг 2: Умножаем.

  • \( 10000 \cdot \frac{1}{10} = 1000 \).

Ответ: \( 1000 \).

5) \( (\frac{64}{81})^{-\frac{1}{2}} \cdot (\frac{8}{27})^{-\frac{2}{3}} \)

Шаг 1: Упрощаем первый множитель.

  • Переворачиваем дробь из-за отрицательного показателя: \( (\frac{81}{64})^{\frac{1}{2}} \).
  • \( \frac{81}{64} = (\frac{9}{8})^2 \).
    \( ((\frac{9}{8})^2)^{\frac{1}{2}} = \frac{9}{8} \).

Шаг 2: Упрощаем второй множитель.

  • Переворачиваем дробь: \( (\frac{27}{8})^{\frac{2}{3}} \).
  • \( \frac{27}{8} = (\frac{3}{2})^3 \).
    \( ((\frac{3}{2})^3)^{\frac{2}{3}} = (\frac{3}{2})^2 = \frac{9}{4} \).

Шаг 3: Умножаем.

  • \( \frac{9}{8} \cdot \frac{9}{4} = \frac{81}{32} \).

Ответ: \( \frac{81}{32} \).

6) \( (\frac{2}{10})^{-2} \cdot (\frac{27}{10})^{-1} \cdot (\frac{3}{4})^{\frac{2}{3}} \)

Шаг 1: Упрощаем множители.

  • Первый множитель: \( (\frac{2}{10})^{-2} = (\frac{1}{5})^{-2} = 5^2 = 25 \).
  • Второй множитель: \( (\frac{27}{10})^{-1} = \frac{10}{27} \).
  • Третий множитель: \( (\frac{3}{4})^{\frac{2}{3}} \). (Оставлю как есть).

Шаг 2: Вычисляем произведение.

  • \( 25 \cdot \frac{10}{27} \cdot (\frac{3}{4})^{\frac{2}{3}} = \frac{250}{27} \cdot (\frac{3}{4})^{\frac{2}{3}} \).

Ответ: \( \frac{250}{27} \cdot (\frac{3}{4})^{\frac{2}{3}} \).

Что применять при решении

Основное свойство степени
Произведение степеней с одинаковыми основаниями: основание остается прежним, показатели складываются.
\( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \)
Степень степени
При возведении степени в степень основание остается прежним, а показатели перемножаются.
\( (a^m)^n = a^{m \cdot n} \)
Степень частного и произведения
Степень частного (дроби) равна частному степеней; степень произведения равна произведению степеней.
\( (\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n} \); \( (ab)^n = a^n b^n \)
Отрицательный показатель степени
Степень с отрицательным показателем равна дроби, числитель которой равен единице, а знаменатель — степени того же основания с положительным показателем. Применимо, если основание не равно нулю.
\( a^{-n} = \frac{1}{a^n}, a \ne 0 \)
Рациональный показатель степени
Степень с рациональным показателем \( \frac{m}{n} \) определяется как корень \( n \)-й степени из основания, возведенного в степень \( m \).
\( a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m} \)
Формула разности квадратов
Произведение разности и суммы двух выражений равно разности их квадратов.
\( a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \)
Формулы суммы и разности кубов
Разложение суммы и разности кубов на множители.
\( a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2) \); \( a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) \)
Избавление от иррациональности в знаменателе
Для дроби вида \( \frac{A}{\sqrt{a} \pm \sqrt{b}} \) нужно умножить числитель и знаменатель на сопряженное выражение \( \sqrt{a} \mp \sqrt{b} \).
\( \frac{A}{\sqrt{a} - \sqrt{b}} = \frac{A(\sqrt{a} + \sqrt{b})}{(\sqrt{a} - \sqrt{b})(\sqrt{a} + \sqrt{b})} = \frac{A(\sqrt{a} + \sqrt{b})}{a - b} \)

Задали создать проект?

Создай с помощью ИИ за 5 минут

До 90% уникальность
Готовый файл Word
15-30 страниц
Список источников по ГОСТ
Оформление по ГОСТ
Таблицы и схемы

Другие упражнения из параграфа Глава 1

92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 112 113 114 115 116 117 118
Уведомление об авторском праве и цитировании

ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.