Нейросеть

Главная / Учебники / Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы / Глава 1 / Задание 103

ГДЗ: Упражнение 103 - Глава 1 (Итоговые упражнения) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Страницы: 35, 36, 37, 38
Глава: Глава 1
Параграф: Глава 1 - Итоговые упражнения
Учебник: Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы -
Автор: Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год: 2025
Издание:

103 упражнение:

Решить уравнение:

1) \( 6^{2x} = 6^5 \)

Шаг 1: Используем свойство равенства степеней.

  • Если основания равны (\( 6 = 6 \)) и больше нуля, то для равенства степеней должны быть равны и показатели.
    \( 2x = 5 \).

Шаг 2: Решаем линейное уравнение.

  • \( x = \frac{5}{2} = 2,5 \).

Ответ: \( x = 2,5 \).

2) \( 3^{2x} = 27 \)

Шаг 1: Приводим к одинаковому основанию.

  • \( 27 = 3^3 \).
    Уравнение: \( 3^{2x} = 3^3 \).

Шаг 2: Приравниваем показатели.

  • \( 2x = 3 \).

Шаг 3: Решаем.

  • \( x = \frac{3}{2} = 1,5 \).

Ответ: \( x = 1,5 \).

3) \( 7^{3x} = 7^{10} \)

Шаг 1: Приравниваем показатели.

  • \( 3x = 10 \).

Шаг 2: Решаем.

  • \( x = \frac{10}{3} \).

Ответ: \( x = \frac{10}{3} \).

4) \( 2^{2x + 1} = 32 \)

Шаг 1: Приводим к одинаковому основанию.

  • \( 32 = 2^5 \).
    Уравнение: \( 2^{2x + 1} = 2^5 \).

Шаг 2: Приравниваем показатели.

  • \( 2x + 1 = 5 \).

Шаг 3: Решаем.

  • \( 2x = 5 - 1 \).
    \( 2x = 4 \).
    \( x = 2 \).

Ответ: \( x = 2 \).

5) \( 4^{2x + x} = 1 \)

Шаг 1: Упрощаем показатель и приводим к одинаковому основанию.

  • Показатель: \( 2x + x = 3x \).
  • \( 1 = 4^0 \).
    Уравнение: \( 4^{3x} = 4^0 \).

Шаг 2: Приравниваем показатели.

  • \( 3x = 0 \).

Шаг 3: Решаем.

  • \( x = 0 \).

Ответ: \( x = 0 \).

Что применять при решении

Основное свойство степени
Произведение степеней с одинаковыми основаниями: основание остается прежним, показатели складываются.
\( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \)
Степень степени
При возведении степени в степень основание остается прежним, а показатели перемножаются.
\( (a^m)^n = a^{m \cdot n} \)
Степень частного и произведения
Степень частного (дроби) равна частному степеней; степень произведения равна произведению степеней.
\( (\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n} \); \( (ab)^n = a^n b^n \)
Отрицательный показатель степени
Степень с отрицательным показателем равна дроби, числитель которой равен единице, а знаменатель — степени того же основания с положительным показателем. Применимо, если основание не равно нулю.
\( a^{-n} = \frac{1}{a^n}, a \ne 0 \)
Рациональный показатель степени
Степень с рациональным показателем \( \frac{m}{n} \) определяется как корень \( n \)-й степени из основания, возведенного в степень \( m \).
\( a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m} \)
Формула разности квадратов
Произведение разности и суммы двух выражений равно разности их квадратов.
\( a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \)
Формулы суммы и разности кубов
Разложение суммы и разности кубов на множители.
\( a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2) \); \( a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) \)
Избавление от иррациональности в знаменателе
Для дроби вида \( \frac{A}{\sqrt{a} \pm \sqrt{b}} \) нужно умножить числитель и знаменатель на сопряженное выражение \( \sqrt{a} \mp \sqrt{b} \).
\( \frac{A}{\sqrt{a} - \sqrt{b}} = \frac{A(\sqrt{a} + \sqrt{b})}{(\sqrt{a} - \sqrt{b})(\sqrt{a} + \sqrt{b})} = \frac{A(\sqrt{a} + \sqrt{b})}{a - b} \)

Задали создать проект?

Создай с помощью ИИ за 5 минут

До 90% уникальность
Готовый файл Word
15-30 страниц
Список источников по ГОСТ
Оформление по ГОСТ
Таблицы и схемы

Другие упражнения из параграфа Глава 1

92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 112 113 114 115 116 117 118
Уведомление об авторском праве и цитировании

ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.