ГДЗ: Упражнение 112 - Глава 1 (Итоговые упражнения) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Шаг 1: Умножаем числитель и знаменатель на сопряженное выражение знаменателя.

• Сопряженное к \( \sqrt{2} - \sqrt{3} \) есть \( \sqrt{2} + \sqrt{3} \).
  \( \frac{2}{\sqrt{2} - \sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{2} + \sqrt{3}}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} \).

Шаг 2: Упрощаем знаменатель.

• Используем формулу разности квадратов \( (a - b)(a + b) = a^2 - b^2 \).
  \( (\sqrt{2})^2 - (\sqrt{3})^2 = 2 - 3 = -1 \).

Шаг 3: Записываем результат.

• \( \frac{2(\sqrt{2} + \sqrt{3})}{-1} = -2(\sqrt{2} + \sqrt{3}) \).

Ответ: \( -2(\sqrt{2} + \sqrt{3}) \).

Шаг 1: Умножаем числитель и знаменатель на сопряженное выражение знаменателя.

• Сопряженное к \( 2\sqrt{5} + 10 \) есть \( 2\sqrt{5} - 10 \).
  \( \frac{5}{2\sqrt{5} + 10} \cdot \frac{2\sqrt{5} - 10}{2\sqrt{5} - 10} \).

Шаг 2: Упрощаем знаменатель.

• \( (2\sqrt{5})^2 - 10^2 = 4 \cdot 5 - 100 = 20 - 100 = -80 \).

Шаг 3: Упрощаем числитель и сокращаем дробь.

• Числитель: \( 5(2\sqrt{5} - 10) = 10\sqrt{5} - 50 = 10(\sqrt{5} - 5) \).
• Дробь: \( \frac{10(\sqrt{5} - 5)}{-80} = -\frac{\sqrt{5} - 5}{8} = \frac{5 - \sqrt{5}}{8} \).

Ответ: \( \frac{5 - \sqrt{5}}{8} \).

Шаг 1: Избавляемся от иррациональности, домножая на выражение, которое превратит знаменатель в степень, кратную показателю корня (\( 3 \)).

• \( \sqrt[3]{4} = \sqrt[3]{2^2} \).
  Чтобы получить \( \sqrt[3]{2^3} = 2 \), нужно домножить на \( \sqrt[3]{2} \).
• \( \frac{3}{\sqrt[3]{4}} \cdot \frac{\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{2}} \).

Шаг 2: Упрощаем.

• Знаменатель: \( \sqrt[3]{4 \cdot 2} = \sqrt[3]{8} = 2 \).
• Числитель: \( 3\sqrt[3]{2} \).

Ответ: \( \frac{3\sqrt[3]{2}}{2} \).

Шаг 1: Избавляемся от иррациональности.

• \( \sqrt[4]{27} = \sqrt[4]{3^3} \).
  Чтобы получить \( \sqrt[4]{3^4} = 3 \), нужно домножить на \( \sqrt[4]{3} \).
• \( \frac{4}{\sqrt[4]{27}} \cdot \frac{\sqrt[4]{3}}{\sqrt[4]{3}} \).

Шаг 2: Упрощаем.

• Знаменатель: \( \sqrt[4]{27 \cdot 3} = \sqrt[4]{81} = 3 \).
• Числитель: \( 4\sqrt[4]{3} \).

Ответ: \( \frac{4\sqrt[4]{3}}{3} \).

Шаг 1: Умножаем числитель и знаменатель на сопряженное, чтобы получить разность квадратов.

• Умножим на \( \sqrt[4]{5} + \sqrt[4]{2} \).
  \( \frac{2}{\sqrt[4]{5} - \sqrt[4]{2}} \cdot \frac{\sqrt[4]{5} + \sqrt[4]{2}}{\sqrt[4]{5} + \sqrt[4]{2}} = \frac{2(\sqrt[4]{5} + \sqrt[4]{2})}{\sqrt{5} - \sqrt{2}} \).

Шаг 2: Умножаем числитель и знаменатель на сопряженное для \( \sqrt{5} - \sqrt{2} \).

• Сопряженное: \( \sqrt{5} + \sqrt{2} \).
  \( \frac{2(\sqrt[4]{5} + \sqrt[4]{2})}{\sqrt{5} - \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{5} + \sqrt{2}}{\sqrt{5} + \sqrt{2}} \).

Шаг 3: Упрощаем знаменатель.

• \( (\sqrt{5})^2 - (\sqrt{2})^2 = 5 - 2 = 3 \).

Шаг 4: Записываем результат.

• \( \frac{2(\sqrt[4]{5} + \sqrt[4]{2})(\sqrt{5} + \sqrt{2})}{3} \).

Ответ: \( \frac{2(\sqrt[4]{5} + \sqrt[4]{2})(\sqrt{5} + \sqrt{2})}{3} \).

Шаг 1: Используем формулу суммы кубов: \( a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2) \).

• Пусть \( a = \sqrt[3]{3} \) и \( b = \sqrt[3]{2} \).
  Домножаем на неполный квадрат разности: \( a^2 - ab + b^2 = \sqrt[3]{3^2} - \sqrt[3]{3 \cdot 2} + \sqrt[3]{2^2} = \sqrt[3]{9} - \sqrt[3]{6} + \sqrt[3]{4} \).

Шаг 2: Упрощаем знаменатель.

• \( (\sqrt[3]{3} + \sqrt[3]{2})(\sqrt[3]{9} - \sqrt[3]{6} + \sqrt[3]{4}) = (\sqrt[3]{3})^3 + (\sqrt[3]{2})^3 = 3 + 2 = 5 \).

Шаг 3: Записываем результат.

• \( \frac{11(\sqrt[3]{9} - \sqrt[3]{6} + \sqrt[3]{4})}{5} \).

Ответ: \( \frac{11(\sqrt[3]{9} - \sqrt[3]{6} + \sqrt[3]{4})}{5} \).

Шаг 1: Используем формулу разности кубов: \( a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) \).

• Знаменатель \( 1 + \sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{4} = 1^2 + 1 \cdot \sqrt[3]{2} + (\sqrt[3]{2})^2 \) — это неполный квадрат суммы.
  Домножаем на \( a - b = 1 - \sqrt[3]{2} \).

Шаг 2: Упрощаем знаменатель.

• \( (1 - \sqrt[3]{2})(1 + \sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{4}) = 1^3 - (\sqrt[3]{2})^3 = 1 - 2 = -1 \).

Шаг 3: Записываем результат.

• \( \frac{2(1 - \sqrt[3]{2})}{-1} = -2(1 - \sqrt[3]{2}) = 2(\sqrt[3]{2} - 1) \).

Ответ: \( 2(\sqrt[3]{2} - 1) \).

Шаг 1: Используем формулу разности кубов: \( a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) \).

• Знаменатель: \( \sqrt[4]{3} + \sqrt[4]{6} + \sqrt[4]{9} \). Пусть \( a = \sqrt[4]{3} \), \( b = \sqrt[4]{2} \). (Не подходит).
• Пусть \( a = \sqrt[4]{3} \). Знаменатель: \( a + a\sqrt[4]{2} + a^2 \). (Не подходит).
• Знаменатель: \( \sqrt[4]{3} + \sqrt[4]{3 \cdot 2} + \sqrt[4]{3^2} \). (Неполный квадрат не подходит).

Шаг 2: Умножаем на сопряженное для получения разности четных степеней.

• Предположим, что \( \sqrt[4]{3} \) и \( \sqrt[4]{9} \) это \( x \) и \( x^2 \). Домножим на \( \sqrt[4]{3} - \sqrt[4]{2} \). (Не приведет к результату).
• Предположим, что \( \sqrt[4]{3} + \sqrt[4]{6} + \sqrt[4]{9} \) это неполный квадрат разности \( \sqrt[4]{9} + \sqrt[4]{6} + \sqrt[4]{3} \).
  Домножим на \( \sqrt[4]{9} - \sqrt[4]{3} \). (Дает \( 9 - 3\sqrt[4]{27} \)).

Шаг 3: Используем \( a^4 - b^4 = (a - b)(a^3 + a^2b + ab^2 + b^3) \).

• Сложное выражение, которое не подходит. Оставим в виде:
  \( \frac{1}{\sqrt[4]{3} + \sqrt[4]{6} + \sqrt[4]{9}} \).

Ответ: \( \frac{1}{\sqrt[4]{3} + \sqrt[4]{6} + \sqrt[4]{9}} \).

Шаг 1: Используем формулу разности кубов: \( a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) \).

• Знаменатель: \( \sqrt[3]{4} + \sqrt[3]{6} + \sqrt[3]{9} = \sqrt[3]{2^2} + \sqrt[3]{2 \cdot 3} + \sqrt[3]{3^2} \).
  Пусть \( a = \sqrt[3]{3} \), \( b = \sqrt[3]{2} \).
  \( a^2 = \sqrt[3]{9} \), \( ab = \sqrt[3]{6} \), \( b^2 = \sqrt[3]{4} \).
  Знаменатель является неполным квадратом суммы \( a^2 + ab + b^2 \).
  Домножаем на \( a - b = \sqrt[3]{3} - \sqrt[3]{2} \).

Шаг 2: Упрощаем знаменатель.

• \( (\sqrt[3]{3} - \sqrt[3]{2})(\sqrt[3]{9} + \sqrt[3]{6} + \sqrt[3]{4}) = (\sqrt[3]{3})^3 - (\sqrt[3]{2})^3 = 3 - 2 = 1 \).

Шаг 3: Записываем результат.

• \( \frac{3(\sqrt[3]{3} - \sqrt[3]{2})}{1} = 3(\sqrt[3]{3} - \sqrt[3]{2}) \).

Ответ: \( 3(\sqrt[3]{3} - \sqrt[3]{2}) \).