ГДЗ: Упражнение 97 - Глава 1 (Итоговые упражнения) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Шаг 1: Приводим выражения к степеням с рациональным показателем.

• \( 2\frac{1}{4} = \frac{9}{4} = \frac{3^2}{2^2} \).
• \( 3\sqrt[3]{2\frac{1}{4}} = 3 \cdot (\frac{3^2}{2^2})^{\frac{1}{3}} = 3 \cdot \frac{3^{\frac{2}{3}}}{2^{\frac{2}{3}}} = 3^{1 + \frac{2}{3}} \cdot 2^{-\frac{2}{3}} = 3^{\frac{5}{3}} \cdot 2^{-\frac{2}{3}} \).
• \( 3^{\frac{1}{2}} = 3^{0,5} \).

Шаг 2: Выполняем деление.

• \( (3^{\frac{5}{3}} \cdot 2^{-\frac{2}{3}}) : 3^{\frac{1}{2}} = 3^{\frac{5}{3} - \frac{1}{2}} \cdot 2^{-\frac{2}{3}} \).
• Разность показателей: \( \frac{5}{3} - \frac{1}{2} = \frac{10 - 3}{6} = \frac{7}{6} \).
• Результат: \( 3^{\frac{7}{6}} \cdot 2^{-\frac{2}{3}} = 3^{\frac{7}{6}} \cdot 2^{-\frac{4}{6}} = \frac{\sqrt[6]{3^7}}{\sqrt[6]{2^4}} = \sqrt[6]{\frac{3^7}{16}} \). (Снова сложно).

Предположим, что \( 3\sqrt[3]{2\frac{1}{4}} \) это \( \sqrt[3]{3 \cdot 2\frac{1}{4}} \).
\( \sqrt[3]{3 \cdot \frac{9}{4}} = \sqrt[3]{\frac{27}{4}} = \frac{3}{\sqrt[3]{4}} \).
\( \frac{3}{\sqrt[3]{4}} : \sqrt{3} = \frac{3}{\sqrt[3]{4} \cdot \sqrt{3}} \). (Снова не упрощается).

Примем первый вариант: \( 3^{\frac{7}{6}} \cdot 2^{-\frac{2}{3}} \).
\( 3^{\frac{7}{6}} \cdot 2^{-\frac{4}{6}} = \frac{3 \cdot 3^{\frac{1}{6}}}{2^{\frac{4}{6}}} = 3 \cdot \sqrt[6]{\frac{3}{2^4}} = 3 \cdot \sqrt[6]{\frac{3}{16}} \).

Ответ: \( 3\sqrt[6]{\frac{3}{16}} \).

Шаг 1: Приводим выражения к степеням с рациональным показателем.

• \( 6\frac{3}{4} = \frac{27}{4} \).
• Выражение под корнем: \( 4 \cdot \frac{27}{4} = 27 \).
• \( \sqrt[3]{4 \cdot 6\frac{3}{4}} = \sqrt[3]{27} = 3 \).

Шаг 2: Умножаем.

• \( 4^{\frac{1}{3}} \cdot 3 = 3\sqrt[3]{4} \).

Ответ: \( 3\sqrt[3]{4} \).

Шаг 1: Упрощаем первый множитель.

• \( 15\frac{5}{8} = \frac{15 \cdot 8 + 5}{8} = \frac{125}{8} = (\frac{5}{2})^3 \).
• \( \sqrt[3]{15\frac{5}{8}} = \sqrt[3]{(\frac{5}{2})^3} = \frac{5}{2} \).

Шаг 2: Выполняем деление.

• \( 4 \cdot \frac{5}{2} = 10 \).
• \( 10 : 4^{\frac{1}{3}} = \frac{10}{\sqrt[3]{4}} \).

Шаг 3: Упрощаем последний множитель.

• \( 2\frac{4}{5} = \frac{14}{5} \).
• \( \sqrt[5]{2\frac{4}{5}} = \sqrt[5]{\frac{14}{5}} \).

Шаг 4: Умножаем.

• \( \frac{10}{\sqrt[3]{4}} \cdot \sqrt[5]{\frac{14}{5}} \).

Ответ: \( \frac{10\sqrt[5]{\frac{14}{5}}}{\sqrt[3]{4}} \).

Шаг 1: Упрощаем выражения.

• \( 11\frac{1}{4} = \frac{45}{4} \).
• \( \sqrt[3]{11\frac{1}{4}} = \sqrt[3]{\frac{45}{4}} \).
• \( \sqrt[3]{\frac{3}{1}} = \sqrt[3]{3} \).

Шаг 2: Выполняем деление.

• \( \sqrt[3]{\frac{45}{4}} : \sqrt[3]{3} = \sqrt[3]{\frac{45}{4} : 3} = \sqrt[3]{\frac{45}{12}} = \sqrt[3]{\frac{15}{4}} \).

Шаг 3: Умножаем на \( \frac{3}{1} = 3 \).

• \( \sqrt[3]{\frac{15}{4}} \cdot 3 = 3\sqrt[3]{\frac{15}{4}} \).

Ответ: \( 3\sqrt[3]{\frac{15}{4}} \).

Шаг 1: Упрощаем выражение в скобках.

• \( \sqrt[3]{27} = 3 \).

Шаг 2: Возводим в степень.

• \( 3^{\frac{1}{2}} = \sqrt{3} \).

Ответ: \( \sqrt{3} \).

Шаг 1: Приводим к степени с рациональным показателем.

• \( \sqrt[3]{16} = 16^{\frac{1}{3}} = (2^4)^{\frac{1}{3}} = 2^{\frac{4}{3}} \).

Шаг 2: Возводим в степень.

• \( (2^{\frac{4}{3}})^{\frac{3}{5}} = 2^{\frac{4}{3} \cdot \frac{3}{5}} = 2^{\frac{4}{5}} \).

Ответ: \( 2^{\frac{4}{5}} \) или \( \sqrt[5]{16} \).