ГДЗ: Упражнение 99 - Глава 1 (Итоговые упражнения) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Шаг 1: Приводим числа к одному показателю.

• Оба числа имеют одинаковый показатель \( 6 \).

Шаг 2: Сравниваем основания.

• \( 0,88 \) и \( \frac{1}{6} \).
• \( \frac{1}{6} \approx 0,166... \).
• \( 0,88 > 0,166... \).

Шаг 3: Сравниваем степени.

• Так как показатель \( 6 \) — положительное четное число, и основания положительны: если \( a > b > 0 \), то \( a^6 > b^6 \).
• \( 0,88^6 > (\frac{1}{6})^6 \).

Ответ: \( 0,88^6 > (\frac{1}{6})^6 \).

Шаг 1: Приводим числа к одному показателю.

• Оба числа имеют одинаковый показатель \( 11 \).

Шаг 2: Сравниваем основания.

• \( \frac{5}{12} \) и \( 0,41 \).
• Переведем \( \frac{5}{12} \) в десятичную дробь: \( 5 : 12 \approx 0,4166... \).
• Сравниваем \( 0,4166... \) и \( 0,41 \).
  \( 0,4166... > 0,41 \).

Шаг 3: Сравниваем степени.

• Так как показатель \( 11 \) — положительное нечетное число, и основания положительны: если \( a > b > 0 \), то \( a^{11} > b^{11} \).
• \( (\frac{5}{12})^{11} > 0,41^{11} \).

Ответ: \( (\frac{5}{12})^{11} > 0,41^{11} \).

Шаг 1: Приводим числа к одному показателю.

• Первое число: \( 4,09^{\frac{3}{2}} \).
• Второе число: \( (\frac{4}{25})^{-\frac{3}{2}} = (\frac{25}{4})^{\frac{3}{2}} \).

Шаг 2: Сравниваем основания.

• Первое основание: \( 4,09 \).
• Второе основание: \( \frac{25}{4} = 6,25 \).
• \( 6,25 > 4,09 \).

Шаг 3: Сравниваем степени.

• Так как показатель \( \frac{3}{2} = 1,5 \) — положительное число, и основания положительны: если \( a > b > 0 \), то \( a^{1,5} > b^{1,5} \).
• \( (\frac{25}{4})^{\frac{3}{2}} > 4,09^{\frac{3}{2}} \).

Ответ: \( 4,09^{\frac{3}{2}} < (\frac{4}{25})^{-\frac{3}{2}} \).

Шаг 1: Приводим числа к одному основанию или показателю.

• Первое число: \( \sqrt{5} \approx 2,236 \).
• Второе число: \( (\frac{12}{13})^{-\sqrt{5}} = (\frac{13}{12})^{\sqrt{5}} \).

Шаг 2: Оцениваем второе число.

• Основание: \( \frac{13}{12} = 1 + \frac{1}{12} \approx 1,083 \).
• Показатель: \( \sqrt{5} \approx 2,236 \).
• Так как основание \( \frac{13}{12} > 1 \), то с ростом показателя степень растет.
• Сравним \( (\frac{13}{12})^{\sqrt{5}} \) с \( 1 \) и \( 2 \):
  \( (\frac{13}{12})^1 = \frac{13}{12} \approx 1,083 \).
  \( (\frac{13}{12})^2 = \frac{169}{144} \approx 1,17 \).
• Поскольку \( \sqrt{5} > 2 \), то \( (\frac{13}{12})^{\sqrt{5}} > (\frac{13}{12})^2 \approx 1,17 \).

Шаг 3: Сравниваем.

• \( \sqrt{5} \approx 2,236 \).
• \( (\frac{13}{12})^{\sqrt{5}} \approx 1,2 \). (Точное значение сложнее, но оно точно меньше 2).
• \( 2,236 > 1,2 \).

Ответ: \( \sqrt{5} > (\frac{12}{13})^{-\sqrt{5}} \).