ГДЗ: Упражнение 247 - Глава 3 (Итоговые упражнения) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Сравниваемое число: \( 2^{-\sqrt{5}} \). Сравниваем его с \( 2^0 \).

Основание: \( a = 2 \). Так как \( 2 > 1 \), функция \( y = 2^x \) возрастает.

Сравниваем показатели: \( -\sqrt{5} \) и \( 0 \).

• Так как \( \sqrt{5} \approx 2.236 > 0 \), то \( -\sqrt{5} < 0 \).

Поскольку основание больше \( 1 \), неравенство между показателями сохраняется для значений функции:

• Так как \( -\sqrt{5} < 0 \), то \( 2^{-\sqrt{5}} < 2^0 \).
• Следовательно, \( 2^{-\sqrt{5}} < 1 \).

Ответ: \( 2^{-\sqrt{5}} < 1 \)

Основание: \( a = \frac{2}{3} \). Так как \( 0 < \frac{2}{3} < 1 \), функция \( y = \left(\frac{2}{3}\right)^x \) убывает.

Сравниваем показатели: \( \sqrt{3} \) и \( 0 \).

• Так как \( \sqrt{3} > 0 \).

Поскольку основание меньше \( 1 \), неравенство между показателями меняется на противоположное для значений функции:

• Так как \( \sqrt{3} > 0 \), то \( \left(\frac{2}{3}\right)^{\sqrt{3}} < \left(\frac{2}{3}\right)^0 \).
• Следовательно, \( \left(\frac{2}{3}\right)^{\sqrt{3}} < 1 \).

Ответ: \( \left(\frac{2}{3}\right)^{\sqrt{3}} < 1 \)

Определяем основание и его отношение к \( 1 \): \( \pi \approx 3.14159 \). \( \frac{\pi}{4} \approx \frac{3.14159}{4} \approx 0.785 \). Так как \( 0 < \frac{\pi}{4} < 1 \), функция убывает.

Определяем показатель и его отношение к \( 0 \): \( \sqrt{5}-2 \). \( \sqrt{5} \approx 2.236 \). \( \sqrt{5}-2 \approx 2.236 - 2 = 0.236 \). Так как \( 0.236 > 0 \), показатель \( \sqrt{5}-2 > 0 \).

Поскольку основание меньше \( 1 \) и показатель положительный, то значение функции меньше \( 1 \):

• Так как \( \sqrt{5}-2 > 0 \), то \( \left(\frac{\pi}{4}\right)^{\sqrt{5}-2} < \left(\frac{\pi}{4}\right)^0 \).
• Следовательно, \( \left(\frac{\pi}{4}\right)^{\sqrt{5}-2} < 1 \).

Ответ: \( \left(\frac{\pi}{4}\right)^{\sqrt{5}-2} < 1 \)

Определяем основание: \( a = \frac{1}{3} \). Так как \( 0 < \frac{1}{3} < 1 \), функция убывает.

Определяем показатель и его отношение к \( 0 \): \( \sqrt{8}-3 \). \( \sqrt{8} \approx 2\sqrt{2} \approx 2.828 \). \( \sqrt{8}-3 \approx 2.828 - 3 = -0.172 \). Так как \( -0.172 < 0 \), показатель \( \sqrt{8}-3 < 0 \).

Поскольку основание меньше \( 1 \), а показатель отрицательный, то значение функции больше \( 1 \) (свойство убывающей функции):

• Так как \( \sqrt{8}-3 < 0 \), то \( \left(\frac{1}{3}\right)^{\sqrt{8}-3} > \left(\frac{1}{3}\right)^0 \).
• Следовательно, \( \left(\frac{1}{3}\right)^{\sqrt{8}-3} > 1 \).

Ответ: \( \left(\frac{1}{3}\right)^{\sqrt{8}-3} > 1 \)