ГДЗ: Упражнение 261 - Глава 3 (Итоговые упражнения) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Правая часть: \( 1 = 8,4^0 \).

Переписываем неравенство:
\( 8,4^{x^2+1} < 8,4^0 \)

Основание \( a = 8,4 \). Так как \( 8,4 > 1 \), функция возрастает. Знак неравенства сохраняется.

Сравниваем показатели:
\( x^2 + 1 < 0 \)

Решаем неравенство. Так как \( x^2 \ge 0 \) для любого действительного \( x \), то \( x^2 + 1 \ge 1 \). Следовательно, выражение \( x^2 + 1 \) никогда не может быть меньше нуля.

Левая часть: \( 2^{x^2} \cdot 5^{x^2} = (2 \cdot 5)^{x^2} = 10^{x^2} \).

Правая часть: \( 10^{3(x^2)} = 10^{3x^2} \).

Переписываем неравенство:
\( 10^{x^2} < 10^{3x^2} \)

Основание \( a = 10 \). Так как \( 10 > 1 \), функция возрастает. Знак неравенства сохраняется.

Сравниваем показатели:
\( x^2 < 3x^2 \)

Решаем квадратное неравенство:
\( 3x^2 - x^2 > 0 \)
\( 2x^2 > 0 \)
\( x^2 > 0 \)

Неравенство \( x^2 > 0 \) выполняется для всех действительных \( x \), кроме \( x = 0 \).

Преобразуем степени:
\( 4^{x - 2x + 1} = 4^{-x + 1} = (2^2)^{-x + 1} = 2^{2(-x + 1)} = 2^{-2x + 2} \)
\( 8^x = (2^3)^x = 2^{3x} \)

Переписываем неравенство:
\( 2^{-2x + 2} < 2^{3x} \)

Основание \( a = 2 \). Так как \( 2 > 1 \), функция возрастает. Знак неравенства сохраняется.

Сравниваем показатели:
\( -2x + 2 < 3x \)
\( 2 < 5x \)
\( x > \frac{2}{5} \)

Упростим правую часть:
\( \frac{1}{3^{x+1 - x}} = \frac{1}{3^1} = \frac{1}{3} \)

Перепишем неравенство в виде степеней \( 3^{-x} \):
\( 3^{-(x+5)} \le 3^{-1} \)
\( 3^{-x - 5} \le 3^{-1} \)

Основание \( a = 3 \). Так как \( 3 > 1 \), функция возрастает. Знак неравенства сохраняется.

Сравниваем показатели:
\( -x - 5 \le -1 \)
\( -x \le 4 \)
\( x \ge -4 \)