Нейросеть

Главная / Учебники / Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы / Глава 3 / Задание 249

ГДЗ: Упражнение 249 - Глава 3 (Итоговые упражнения) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Страницы: 87, 88, 89
Глава: Глава 3
Параграф: Глава 3 - Итоговые упражнения
Учебник: Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы -
Автор: Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год: 2025
Издание:

249 упражнение:

В каком промежутке находятся значения функции при \( x \in [-1; 2] \):

1) \( y = 5^x \)

Пояснение: Используем свойство монотонности функции на заданном отрезке.

  • Основание: \( a = 5 \). Так как \( 5 > 1 \), функция \( y = 5^x \) возрастает.

  • На отрезке \( x \in [-1; 2] \) наименьшее значение функции достигается при наименьшем \( x \), а наибольшее — при наибольшем \( x \).

  • Минимальное значение: \( y(-1) = 5^{-1} = \frac{1}{5} \).

  • Максимальное значение: \( y(2) = 5^2 = 25 \).

  • Поскольку функция непрерывна и монотонна, область значений на отрезке — это отрезок с концами, равными крайним значениям.

    • Ответ: Значения функции находятся в промежутке \( \left[\frac{1}{5}; 25\right] \).

    2) \( y = 5^{-x} \)

    Пояснение: Сначала приведем функцию к стандартному виду \( y = a^x \) и определим ее монотонность.

  • Преобразуем: \( y = 5^{-x} = \left(5^{-1}\right)^x = \left(\frac{1}{5}\right)^x \).

  • Основание: \( a = \frac{1}{5} \). Так как \( 0 < \frac{1}{5} < 1 \), функция \( y = \left(\frac{1}{5}\right)^x \) убывает.

  • На отрезке \( x \in [-1; 2] \) наименьшее значение функции достигается при наибольшем \( x \), а наибольшее — при наименьшем \( x \).

  • Минимальное значение: \( y(2) = 5^{-2} = \frac{1}{25} \).

  • Максимальное значение: \( y(-1) = 5^{-(-1)} = 5^1 = 5 \).

  • Область значений на отрезке: \( \left[\frac{1}{25}; 5\right] \).

    • Ответ: Значения функции находятся в промежутке \( \left[\frac{1}{25}; 5\right] \).

    Что применять при решении

    Сравнение показательных чисел
    Показательная функция \( y = a^x \) является возрастающей при \( a > 1 \) и убывающей при \( 0 < a < 1 \). Это свойство используется для сравнения чисел и решения показательных неравенств.
    • Если \( a > 1 \), то \( a^{x_1} > a^{x_2} \) равносильно \( x_1 > x_2 \).
    • Если \( 0 < a < 1 \), то \( a^{x_1} > a^{x_2} \) равносильно \( x_1 < x_2 \).
    Решение показательных уравнений
    Показательное уравнение \( a^{f(x)} = a^{g(x)} \) при \( a > 0, a \neq 1 \) эквивалентно уравнению \( f(x) = g(x) \).
    \( a^{f(x)} = a^{g(x)} \implies f(x) = g(x) \)
    Метод замены переменной
    Для решения сложных показательных уравнений, которые можно привести к виду \( A \cdot (a^x)^2 + B \cdot a^x + C = 0 \), используется замена \( t = a^x \), где \( t > 0 \).
    \( A \cdot (a^x)^2 + B \cdot a^x + C = 0 \xrightarrow{t=a^x} A t^2 + B t + C = 0, \; t>0 \)

    Задали создать проект?

    Создай с помощью ИИ за 5 минут

    До 90% уникальность
    Готовый файл Word
    15-30 страниц
    Список источников по ГОСТ
    Оформление по ГОСТ
    Таблицы и схемы

    Другие упражнения из параграфа Глава 3

    246 247 248 249 250 251 252 253 254 258 259 260 261 262 263 264 265
    Уведомление об авторском праве и цитировании

    ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

    Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

    В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.