ГДЗ: Упражнение 253 - Глава 3 (Итоговые упражнения) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Приводим правую часть к основанию \( 3 \):
\( 9 = 3^2 \)

Переписываем неравенство:
\( 3^{x-2} > 3^2 \)

Основание \( a = 3 \). Так как \( 3 > 1 \), функция \( y = 3^x \) возрастает. Знак неравенства при переходе к показателям сохраняется.

Сравниваем показатели:
\( x - 2 > 2 \)
\( x > 4 \)

Приводим правую часть к основанию \( 5 \):
\( \frac{1}{25} = \frac{1}{5^2} = 5^{-2} \)

Переписываем неравенство:
\( 5^{2x} < 5^{-2} \)

Основание \( a = 5 \). Так как \( 5 > 1 \), функция \( y = 5^x \) возрастает. Знак неравенства при переходе к показателям сохраняется.

Сравниваем показатели:
\( 2x < -2 \)
\( x < -1 \)

Основание \( a = 0,7 \). Так как \( 0 < 0,7 < 1 \), функция \( y = 0,7^x \) убывает. Знак неравенства при переходе к показателям меняется на противоположный.

Сравниваем показатели:
\( x^2 + 2x > 3 \)

Решаем квадратное неравенство:
\( x^2 + 2x - 3 > 0 \)

Находим корни уравнения \( x^2 + 2x - 3 = 0 \):
\( (x+3)(x-1) = 0 \)
\( x_1 = -3; \; x_2 = 1 \)

Так как ветви параболы направлены вверх (\( a = 1 > 0 \)), неравенство \( > 0 \) выполняется вне корней.

Приводим правую часть к основанию \( \frac{1}{3} \):
\( \frac{1}{81} = \frac{1}{3^4} = \left(\frac{1}{3}\right)^4 \)

Переписываем неравенство:
\( \left(\frac{1}{3}\right)^{x^2} \le \left(\frac{1}{3}\right)^4 \)

Основание \( a = \frac{1}{3} \). Так как \( 0 < \frac{1}{3} < 1 \), функция убывает. Знак неравенства при переходе к показателям меняется на противоположный.

Сравниваем показатели:
\( x^2 \ge 4 \)

Решаем неравенство:
\( x^2 - 4 \ge 0 \)
\( (x-2)(x+2) \ge 0 \)

Находим корни \( x_1 = 2; \; x_2 = -2 \). Неравенство выполняется вне корней (включая корни).