ГДЗ: Упражнение 254 - Глава 3 (Итоговые упражнения) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

График \( y_1 = 2^{-x} = \left(\frac{1}{2}\right)^x \): это показательная функция с основанием \( 0 < \frac{1}{2} < 1 \). Она убывает, проходит через точку \((0; 1)\) и стремится к \( y=0 \) при \( x \to +\infty \).

График \( y_2 = 3x + 10 \): это возрастающая прямая линия. Проходит через точки, например, \((0; 10)\) и \((-3; 1)\).

Поскольку одна функция убывает, а другая возрастает, графики могут пересечься не более чем в одной точке.

Подбираем целые значения \( x \):
При \( x = -3 \): \( y_1 = 2^{-(-3)} = 2^3 = 8 \); \( y_2 = 3(-3) + 10 = -9 + 10 = 1 \). \( 8 \neq 1 \).

При \( x = -2 \): \( y_1 = 2^{-(-2)} = 2^2 = 4 \); \( y_2 = 3(-2) + 10 = -6 + 10 = 4 \). \( 4 = 4 \).

Точка пересечения: \( x = -2 \).

График \( y_1 = \left(\frac{1}{3}\right)^{-x} = 3^x \): это показательная функция с основанием \( 3 > 1 \). Она возрастает, проходит через точку \((0; 1)\).

График \( y_2 = 2x + 5 \): это возрастающая прямая линия. Проходит через точки, например, \((0; 5)\) и \((-2; 1)\).

Поскольку обе функции возрастают, однозначно утверждать о количестве пересечений сложно, но в большинстве случаев это не более двух, а в простейших случаях - не более одного.

Подбираем целые значения \( x \):
При \( x = -2 \): \( y_1 = 3^{-2} = \frac{1}{9} \); \( y_2 = 2(-2) + 5 = -4 + 5 = 1 \). \( \frac{1}{9} \neq 1 \).

При \( x = -1 \): \( y_1 = 3^{-1} = \frac{1}{3} \); \( y_2 = 2(-1) + 5 = 3 \). \( \frac{1}{3} \neq 3 \).

При \( x = 0 \): \( y_1 = 3^0 = 1 \); \( y_2 = 2(0) + 5 = 5 \). \( 1 \neq 5 \).

Видно, что \( y_1 \) растет быстрее, чем \( y_2 \), и \( 3^x \) и \( 2x+5 \) пересекаются между \( x = -2 \) и \( x = -1 \).

Попробуем не целое значение. При \( x = -1 \), \( 3^x = \frac{1}{3} \), \( 2x+5 = 3 \). При \( x = -2 \), \( 3^x = \frac{1}{9} \), \( 2x+5 = 1 \). Видно, что разность \( |3^x - (2x+5)| \) уменьшается при движении от \(-1\) к \(-2\).

Проверим \(\mathbf{x = -2,5} \) (для удобства, поскольку в учебнике часто целые или полуцелые корни)
\( y_1 = 3^{-2,5} = 3^{-5/2} = \frac{1}{3^2 \sqrt{3}} = \frac{1}{9\sqrt{3}} \approx 0.064 \)
\( y_2 = 2(-2,5) + 5 = -5 + 5 = 0 \). \( \frac{1}{9\sqrt{3}} \neq 0 \). Решение - это точка пересечения, где \( 3^x = 2x+5 \).

В данном случае, если решение должно быть целым, то такого решения нет. Если предполагается, что оно есть, графики пересекутся. Посмотрим на знаки разности: \( f(x) = 3^x - (2x+5) \). \( f(-2) = \frac{1}{9} - 1 = -\frac{8}{9} \), \( f(-1) = \frac{1}{3} - 3 = -\frac{8}{3} \). \( f(-3) = \frac{1}{27} - (-1) = 1 \frac{1}{27} \). Значит, решение \( x \) находится в интервале \( (-3; -2) \).

Поскольку в большинстве школьных учебников графические задачи имеют целые или легко находимые корни, и нет простых целых корней, оставим ответ как единственное решение, находящееся в интервале \( (-3; -2) \).