ГДЗ: Упражнение 264 - Глава 3 (Итоговые упражнения) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Преобразуем основания:
\( 0,2 = \frac{1}{5} = 5^{-1} \)
\( 0,04 = \frac{4}{100} = \frac{1}{25} = 5^{-2} \)
\( \frac{1}{\sqrt{5}} = 5^{-\frac{1}{2}} \)

Преобразуем левую часть:
\( 0,2^{x^2 + 0,5} = (5^{-1})^{x^2 + 0,5} = 5^{-(x^2 + 0,5)} = 5^{-x^2 - 0,5} \)

Преобразуем правую часть:
\( 5 \cdot 0,04^x \cdot \frac{1}{\sqrt{5}} = 5^1 \cdot (5^{-2})^x \cdot 5^{-\frac{1}{2}} = 5^1 \cdot 5^{-2x} \cdot 5^{-\frac{1}{2}} \)

Сложим показатели в правой части:
\( 1 - 2x - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} - 2x \)

Уравнение принимает вид:
\( 5^{-x^2 - 0,5} = 5^{\frac{1}{2} - 2x} \)

Приравниваем показатели (так как основания одинаковые и \( > 1 \)):
\( -x^2 - 0,5 = 0,5 - 2x \)
\( -x^2 + 2x - 1 = 0 \)
\( x^2 - 2x + 1 = 0 \)

Решаем квадратное уравнение (формула квадрата разности):
\( (x - 1)^2 = 0 \)
\( x = 1 \)

Упрощаем правую часть:
\( 5 \cdot 3^x \cdot 3^2 - 2 \cdot 2^x \cdot 2^2 = 5 \cdot 9 \cdot 3^x - 2 \cdot 4 \cdot 2^x = 45 \cdot 3^x - 8 \cdot 2^x \)

Уравнение принимает вид:
\( 4 \cdot 3^x - 9 \cdot 2^x = 45 \cdot 3^x - 8 \cdot 2^x \)

Группируем слагаемые с \( 3^x \) и \( 2^x \):
\( 4 \cdot 3^x - 45 \cdot 3^x = 9 \cdot 2^x - 8 \cdot 2^x \)
\( (4 - 45) \cdot 3^x = (9 - 8) \cdot 2^x \)
\( -41 \cdot 3^x = 1 \cdot 2^x \)

Делим на \( 2^x \) (или на \( 3^x \)):
\( -41 = \frac{2^x}{3^x} \)
\( -41 = \left(\frac{2}{3}\right)^x \)

Так как \( \left(\frac{2}{3}\right)^x > 0 \) для любого действительного \( x \), а левая часть \(-41\) отрицательна, уравнение не имеет решений.

Перепишем основания:
\( 4^{x^2} = (2^2)^{x^2} = (2^{x^2})^2 \)
\( 10^{x^2} = 2^{x^2} \cdot 5^{x^2} \)
\( 25^{x^2} = (5^2)^{x^2} = (5^{x^2})^2 \)

Уравнение принимает вид (заменяем \( x^2 \) на \( z \) для удобства):
\( 4 \cdot 4^z - 3 \cdot 10^z - 5 \cdot 25^z = 0 \)

Делим на \( 25^z \) (или \( 4^z \), или \( 10^z \)) для приведения к однородному уравнению:
\( 4 \cdot \frac{4^z}{25^z} - 3 \cdot \frac{10^z}{25^z} - 5 = 0 \)
\( 4 \cdot \left(\frac{4}{25}\right)^z - 3 \cdot \left(\frac{2}{5}\right)^z - 5 = 0 \)

Заметим, что \( \frac{4}{25} = \left(\frac{2}{5}\right)^2 \). Введем замену: \( t = \left(\frac{2}{5}\right)^z \), где \( z = x^2 \). Так как \( x^2 \ge 0 \), то \( 0 < \frac{2}{5} < 1 \), и \( 0 < t \le 1 \).

Решаем квадратное уравнение относительно \( t \):
\( 4t^2 - 3t - 5 = 0 \)

Находим корни:
\( D = (-3)^2 - 4(4)(-5) = 9 + 80 = 89 \)
\( t_{1,2} = \frac{3 \pm \sqrt{89}}{8} \)

Корни:
\( t_1 = \frac{3 + \sqrt{89}}{8} \approx \frac{3 + 9,43}{8} \approx 1,55 \)
\( t_2 = \frac{3 - \sqrt{89}}{8} < 0 \)

Проверяем условие \( 0 < t \le 1 \). \( t_1 \approx 1,55 \) не удовлетворяет этому условию, а \( t_2 \) отрицателен (посторонний корень). Следовательно, уравнение не имеет решений.

Упростим подобные слагаемые:
\( 4 \cdot 9^x + (12 - 16) \cdot 3^x = 0 \)
\( 4 \cdot 9^x - 4 \cdot 3^x = 0 \)

Разделим на 4:
\( 9^x - 3^x = 0 \)

Перепишем \( 9^x = (3^x)^2 \):
\( (3^x)^2 - 3^x = 0 \)

Введем замену: \( t = 3^x \), \( t > 0 \).
\( t^2 - t = 0 \)
\( t(t - 1) = 0 \)

Находим корни:
\( t_1 = 0 \) (посторонний, так как \( t > 0 \))
\( t_2 = 1 \)

Возвращаемся к замене:
\( 3^x = 1 \)
\( 3^x = 3^0 \)
\( x = 0 \)